Intervalul

Intervalele se folosesc foarte des în matematică și apar în nenumărate definiții. Intervalul este o mulțime de puncte delimitată de două puncte extreme. Distingem intervale deschise și intervale închise.

Descriere de bază

Folosim intervale și în vorbirea de zi cu zi, de exemplu: „pentru culoarea greșită a ochilor poți primi o amendă între două mii și patru mii de lei”. În exemplu apare cuvântul „între”, dar, din punct de vedere matematic, este vorba despre un interval. Acum apar întrebări capcană: poți primi o amendă de exact două mii de lei sau valoarea extremă nu se pune la socoteală? Cât de fin pot fi stabilite amenzile? Pot primi o amendă de 3708,39 lei? Sau pot alege doar din sută în sută? Adică fie 3700, fie 3800?

Totul se rezolvă prin scrierea matematică. În ea trebuie să spunem două lucruri importante: în ce mulțime ne aflăm (în contextul exemplului – sute? mii? unități de lei?) și dacă extremitățile aparțin intervalului (pot primi o amendă de exact două mii sau patru mii de lei?).

Vestea bună este că, în marea majoritate a cazurilor din matematică, vrem ca intervalul să lucreze cu mulțimea numerelor reale, așa că, dacă întâlnești un interval fără specificarea mulțimii, este sigur vorba despre numere reale.

Mulțimea de bază o avem, dar cum arătăm dacă luăm în considerare și extremitățile? Intervalele se scriu cu ajutorul parantezelor. Paranteza rotundă arată că extremitatea nu aparține intervalului, paranteza pătrată arată că extremitatea aparține intervalului. Aceasta se numește deschidere și închidere. Dacă extremitatea aparține intervalului, intervalul este închis, dacă nu aparține, este deschis.

Exemple

Urmează exemple (toate în mulțimea numerelor reale, dacă nu se spune altfel):

• [1, 2]   Interval închis de la unu la doi. În interval intră toate numerele reale dintre unu și doi, inclusiv unu și doi.
• (1, 2)   Interval deschis de la unu la doi. În interval intră toate numerele reale dintre unu și doi, dar numerele unu și doi în sine nu aparțin intervalului.
• [0, 1)   Interval închis la stânga și deschis la dreapta. În interval intră toate numerele dintre zero și unu, inclusiv zero, dar unu nu aparține intervalului.
• (p, q]   Interval deschis la stânga și închis la dreapta. În interval intră toate numerele dintre p și q, inclusiv q, dar fără p.
• [0, +∞)   Interval închis la stânga și deschis la dreapta. Dacă într-un interval apare infinitul, folosește de partea respectivă paranteza rotundă: infinitul nu are o extremitate finită, deci intervalul închis nu are sens acolo.
• [1, 5] ⊂ ℕ   Aici apare o schimbare: nu lucrăm cu mulțimea numerelor reale, ci cu mulțimea numerelor naturale. Avem un interval închis la ambele capete, iar în acest interval se află în total cinci numere: 1, 2, 3, 4 și 5.
• (1, 5] ⊂ ℕ   Același caz ca adineauri, doar că intervalul este deschis la stânga, deci unu nu aparține intervalului, iar enumerarea tuturor elementelor intervalului este: 2, 3, 4 și 5.

Intervalul ca mulțime

După cum se vede, intervalul nu este altceva decât o submulțime a mulțimii pe care este definit. De aceea putem lucra cu intervale ca și cu mulțimi și putem efectua cu ele operații cu mulțimi. De exemplu, reuniunea ar putea arăta astfel:

$$[0,5]\cup [5,10]=[0,10]$$

Atenție la intervalele deschise, acolo egalitatea nu ar fi valabilă, pentru că cinci nu aparține intervalului rezultat:

$$(0,5)\cup (5,10)\ne (0,10)$$

Corect ar putea arăta, de exemplu, astfel:

$$(0,5)\cup (5,10)=(0,10)\setminus \{5\}$$

Când folosim un interval deschis

Diferența dintre intervalul deschis și cel închis trebuie înțeleasă. Un caz frecvent de folosire a intervalului deschis este, de exemplu, domeniul de definiție al logaritmului. Putem folosi logaritmul cu orice număr real pozitiv, ceea ce înseamnă că nu-l putem aplica unui număr negativ, dar nici lui zero. Cum scriem asta?

$$D_{\ln }=(0,+\mathrm{\infty })$$

Această scriere spune că putem aplica logaritmul unui număr pozitiv oricât de mic, dar nu și lui zero. Deci, de exemplu, numărul 1 aparține intervalului, numărul 0,001 de asemenea, la fel și numărul 0,0000000001 sau 10⁻⁶⁶⁶. Dar zero nu mai aparține intervalului. În mod asemănător putem scrie domeniul de definiție al unei funcții cu o fracție, de exemplu al simplei f(x) = 1/x.

$$D_f=(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })$$

Aceasta ne dă mulțimea numerelor reale fără zero. În niciunul dintre intervale zero nu se află la o extremitate închisă, de aceea nici în reuniunea rezultată nu va fi zero. Putem însă folosi orice număr pozitiv oricât de mic sau orice număr negativ oricât de mare (la numerele negative, −0,001 este mai mare decât −0,1, de aceea spunem „oricât de mare” și nu „oricât de mic”).

Interpretarea geometrică

De obicei reprezentăm intervalele pe axa numerelor ca segmente, iar extremitățile le alegem după cum intervalul este închis sau deschis. Dacă intervalul este închis, cerculețul care reprezintă punctul va fi colorat, dacă este deschis, va fi necolorat, doar un contur, doar un cerc.

Figura următoare arată trei intervale de la doi la șase, care diferă prin închiderea capetelor. Deci vor fi reprezentate, pe rând, aceste intervale: [2, 6], (2, 6], (2, 6).