Numere raționale

Numerele raționale sunt toate numerele care se pot scrie ca raportul a două numere întregi, adică sub forma unei fracții.

Definiție

Numerele raționale sunt deci toate numerele care se pot scrie sub forma

$$\frac{a}{b}a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0.$$

Condiția ca ambele numere să fie întregi are un rost evident: dacă ai alege un număr care nu este rațional, de exemplu π, și ai alcătui fracția

$$\frac{\pi }{1},$$

ai obține înapoi numărul π, care nu este rațional. De aceea și numitorul, și numărătorul trebuie să fie numere întregi. Și, pentru că nu putem împărți la zero, numitorul trebuie să fie diferit de zero.

Putem spune și că numerele raționale sunt numerele cu o scriere zecimală finită și numerele cu o scriere zecimală infinită în care o anumită parte se repetă periodic. Iată exemple de numere raționale, mai întâi sub formă de fracție:

$$\frac{1}{3},-\frac{5}{9},\frac{13}{29},\frac{4}{1},\dots$$

și apoi numere sub formă zecimală: 0,1; −5; 14,5; −12,93; 0,33333…=0,(3)

Scrierea periodică

În exemplul precedent am avut numărul 0,3333… Este scrierea zecimală a fracției 1/3 și este un număr cu o scriere zecimală infinită. Totuși este rațional, pentru că scrierea este periodică. O scriere periodică înseamnă că, de la un anumit loc, se repetă la nesfârșit aceeași secvență de cifre. În cazul nostru se repeta la infinit cifra trei. Se poate repeta însă și, de exemplu, secvența de cifre 12345; tot va fi un număr periodic, un număr rațional.

Deci orice număr cu o scriere zecimală finită este rațional. Orice număr cu o scriere zecimală infinită în care o parte se repetă periodic este tot rațional. Un număr cu o scriere zecimală infinită în care nicio parte nu se repetă periodic este un număr irațional.

Perioada se notează fie cu trei puncte, fie, mai des, punând între paranteze cifrele care se repetă periodic. Se poate repeta periodic o singură cifră, dar la fel de bine mai multe. Perioada poate începe chiar de la începutul părții zecimale sau mai târziu. Toate acestea sunt numere periodice:

$$\begin{array}{rclcl}7/3& =& \mathrm{2,333}33\dots & =& 2,(3)\\ 16/11& =& \mathrm{1,454}545\dots & =& 1,(45)\\ 11/6& =& \mathrm{1,833}333\dots & =& 1,8(3)\end{array}$$

Notația și semnificația

Numerele raționale se notează cu litera Q cu arce dublate: ℚ. Litera vine de la cuvântul englezesc „quotient”, în română „cât”, care denumește rezultatul unei împărțiri.

Numerele raționale se folosesc pentru a exprima o parte dintr-un întreg. De obicei vorbim de „jumătate” sau de „zecime”. Acestea sunt denumiri pentru părți dintr-un întreg, care se pot exprima prin numere raționale ca rapoartele 1/2 și 1/10. În aceste cazuri numitorul arată întregul, iar numărătorul partea luată din întreg. Dacă numărătorul este egal cu numitorul, înseamnă că avem întregul. Aceste părți se transformă de obicei în procente.

Proprietăți

1. Numerele raționale formează o mulțime numărabilă infinită.

• Numerele raționale sunt închise față de adunare, scădere, înmulțire și împărțire. Asta înseamnă că, dacă împărțim două numere raționale, obținem tot un număr rațional. Aceasta este o schimbare față de numerele întregi, care nu erau închise față de împărțire.
• Numerele raționale conțin toate numerele întregi. Dacă toate numerele raționale se pot exprima prin fracția a/b, atunci este suficient să luăm b = 1 și, după împărțirea a/1 = a, obținem mereu înapoi valoarea numărătorului.
• Dacă luăm două numere raționale a și b pentru care a < b, găsim mereu un alt număr rațional q pentru care a < q < b. Altfel spus, între oricare două numere raționale se poate găsi mereu un alt număr rațional. Este adevărată și o variantă mai tare: între oricare două numere raționale există o infinitate de alte numere raționale.
• O consecință a propoziției precedente este că nu există cel mai mic număr rațional pozitiv (sau cel mai mare număr rațional negativ). Putem folosi o demonstrație prin reducere la absurd. Fie m cel mai mic număr rațional pozitiv. Atunci nu ar trebui să putem găsi un număr rațional pozitiv mai mic. Totuși, conform propoziției precedente, din 0 < m rezultă că există un număr rațional s pentru care 0 < s < m. Am găsit numărul s, care este mai mare decât zero (este pozitiv) și mai mic decât numărul m. Asta contrazice faptul că m este cel mai mic număr rațional pozitiv.

Operații cu numere raționale

Toate operațiile de bază sunt descrise în articolul despre fracții.

Transformarea unui număr periodic în fracție

Pentru că un număr periodic este în același timp un număr rațional, trebuie să se poată transforma în fracție. Îți arăt cum se face. Să începem cu numărul periodic a = 0,333… Scriem

$$a=0,(3)$$

Acum vom face transformări echivalente ale ecuațiilor și vom înmulți toată ecuația cu zece:

$$10a=3,(3)$$

În partea dreaptă, un trei s-a mutat la unități, iar după virgulă au rămas tot o infinitate de cifre 3. Acum scădem din ecuație a, adică scădem 0,333…, și astfel scăpăm de scrierea infinită.

$$9a=3$$

Pasul acesta a fost poate puțin complicat, așa că îl scriu detaliat. Am efectuat această operație:

$$\begin{array}{ccccccc}& 3& ,& 3& 3& 3& \dots \\ -& 0& ,& 3& 3& 3& \dots \\ =& 3& ,& 0& 0& 0& \dots \end{array}$$

Ecuația 9a = 3 o împărțim doar la nouă și obținem rezultatul:

$$a=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$

Mai încercăm un exemplu:

$$a=\mathrm{1,454}545\dots =1,(45)$$

Procedeul va fi puțin diferit. În exemplul precedent aveam o perioadă de lungime unu. Mai exact, perioada putea fi oricât de lungă am fi vrut, pentru că se repetă mereu aceleași cifre, dar ne convenea să o avem de lungime unu. Acum avem o perioadă de lungime doi. Din nou, am putea lua o perioadă de lungime șase, dar nu ne convine. Ca să scădem într-adevăr întreaga perioadă, trebuie să înmulțim de data aceasta cu o sută:

$$100a=145,(45)$$

Scădem un a:

$$99a=144$$

Și împărțim la 99:

$$a=\frac{144}{99}=\frac{16}{11}$$

Dacă încerci să împarți aceste numere pe calculator, îți va ieși tocmai 1,454545… Majoritatea calculatoarelor rotunjesc însă, așa că poți vedea un rezultat puțin diferit.

O curiozitate cu 0,9999…

Încercăm, de curiozitate, să transformăm în fracție numărul periodic

$$a=0,(9)$$

Înmulțim cu zece:

$$10a=9,(9)$$

Scădem a:

$$9a=9$$

Împărțim la nouă:

$$a=1$$

Vedem că am obținut unu, deci numărul 0,999… este egal cu numărul 1.

Legături

• Wikipedia