Infinitul

Infinitul este o noțiune abstractă pe care, în fond, nici nu ți-o poți imagina. Infinitul în sine nu are sfârșit, de aici și numele, dar infinitul general nu are nici început (îl putem totuși specifica; de exemplu, semidreapta este și ea infinită, dar are un început). Infinitul se scrie de obicei cu așa-numitul „opt culcat” – ∞.

Calculăm cu infinitul

Infinitul seamănă în parte cu zero, care și el este special în multe privințe și pentru el sunt valabile reguli speciale. De exemplu, nu poți împărți la zero, asta o știe probabil orice copil mic (apropo, știi gluma asta? Care e cea mai bună scuză când n-ai făcut tema la matematică? „Doamna profesoară, am început din greșeală să împart la zero și mi s-a ars caietul…” ;o)).

Așa cum orice înmulțit cu zero este zero, la fel orice înmulțit cu infinitul sau orice plus infinit este infinit. Dacă scazi din infinit un număr oricât de mare, îți rămâne mereu infinit. La fel și dacă încerci să împarți infinitul. Infinitul este pur și simplu atât de mare încât, chiar dacă i-ai scădea în fiecare secundă milioane, tot infinit îți rămâne. Uneori e puțin greu de înțeles; de exemplu, să luăm această ecuație: ∞ + 1 = ∞. Este adevărată sau nu?

Logica ne spune că membrul stâng este mai mare: dacă adun unu la infinit, întreaga expresie trebuie să fie mai mare decât simplul infinit. Nu trebuie :-). Cum am mai spus, infinit plus orice este infinit. Deci infinit plus unu este infinit, iar infinitul este egal cu infinitul. Ecuația este adevărată.

Se poate găsi și o altă cale, prin limite. Să luăm acum fracția 1/x și să calculăm limita la dreapta pentru x→0⁺, presupunând că nu ni s-a ars caietul. O astfel de limită ar fi egală cu infinit. Dacă adaugi unu la această expresie, vei avea expresia (1+x)/x, iar limita pentru x→0⁺ ar fi din nou infinit.

Distracția începe când combinăm infinitul mai mult. De exemplu, cu ce este egală expresia infinit minus infinit? Logica ne spune că scădem unul din altul două numere la fel de mari, deci rezultatul va fi zero. Dar am spus și că, dacă scădem un număr oarecare din infinit, rezultatul este tot infinit. Invers, dacă scădem infinitul din orice număr, ne iese minus infinit. Deci cum ieșim din asta? Toate rezultatele sunt teoretic posibile. Matematica spune că expresia ∞ −∞ nu este egală cu nimic anume, este o expresie nedefinită, adică o formă nedeterminată. Este un caz asemănător cu încercarea de a împărți la zero, pur și simplu nu are sens. Dacă dai peste o astfel de formă nedeterminată, trebuie să transformi expresia într-un fel (la unele tipuri de forme nedeterminate se poate folosi, de exemplu, regula lui l'Hôpital [se citește „lopital”]).

Alte forme nedeterminate:

• ∞ − ∞
• ∞/∞
• 0/0
• 0 · ∞
• 0⁰
• ∞⁰
• 1^∞

Apropo, rămân valabile operațiile de bază cu semne, de exemplu −1 · ∞ este egal cu minus infinit.

Vrei să înnebunești?

Atunci apucă-te de teoria mulțimilor și calculează care mulțime este mai mare. De exemplu, este mai mare mulțimea numerelor pare sau a celor impare? A celor pare sau a celor naturale? A celor naturale sau a celor întregi? A celor pare sau a celor întregi? A celor naturale sau a celor raționale? Răspunsul este că toate sunt la fel de mari. Oricât de ciudat ar părea (numere întregi trebuie să fie totuși mai multe decât numere impare), sunt mulțimi la fel de mari. În schimb, mulțimea numerelor reale este mai mare decât mulțimile amintite. Să se descurce cine poate ;-)