Comutativitatea

Comutativitatea este o proprietate a operațiilor cum este, de exemplu, adunarea. Putem observa că la adunare ordinea nu contează, deci 3 + 5 este același lucru cu 5 + 3. Oricare două numere reale am aduna, a + b, rezultatul va fi același și dacă schimbăm între ele termenii sumei: b + a. Dacă o operație îndeplinește această condiție, spunem despre ea că este comutativă.

Un exemplu de altă operație comutativă este înmulțirea, deoarece 2 · 6 are același rezultat ca 6 · 2, iar același lucru este valabil pentru oricare două numere a, b:

$$a\cdot b=b\cdot a$$

Un exemplu de operație care nu este comutativă este scăderea, pentru că 7 − 4 este altceva decât 4 − 7. În primul caz obținem rezultatul 3, în al doilea caz obținem −3. Un alt exemplu este împărțirea, pentru că 2 : 5 este altceva decât 5 : 2.

Fii totuși atent la alte proprietăți ale operațiilor, de exemplu la prioritatea înmulțirii. Dacă avem expresia 1 + 2 · 3, nu putem spune că este același lucru cu 2 + 1 · 3. Înmulțirea are prioritate față de adunare. Ne putem ajuta cu paranteze: expresia 1 + 2 · 3 este aceeași cu 1 + (2 · 3). Dacă vrem să aplicăm comutativitatea adunării, putem, dar trebuie să luăm cu noi toată paranteza: 1 + (2 · 3) este egal cu (2 · 3) + 1, iar acesta este egal cu (3 · 2) + 1, dacă aplicăm în plus comutativitatea înmulțirii.

Operațiile cu mulțimi și comutativitatea

Nu doar operațiile cu numere pot fi comutative, ci și, de exemplu, operațiile cu mulțimi. De exemplu, intersecția mulțimilor A și B este o operație comutativă. Intersecția a două mulțimi este formată din „elementele care se găsesc în ambele mulțimi”, deci

$$A\cap B=B\cap A$$

Exact la fel funcționează reuniunea mulțimilor A și B, al cărei rezultat sunt „elementele care se găsesc în cel puțin una dintre mulțimi”, deci:

$$A\cup B=B\cup A$$

Nu este comutativă, de exemplu, diferența mulțimilor.

Vectori

O altă operație comutativă se găsește printre operațiile cu vectori, și anume adunarea vectorilor – în general, adunarea este de cele mai multe ori o operație comutativă. În acest caz, dacă avem doi vectori $\overrightarrow{u}$ și $\overrightarrow{v}$, este valabil că

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$$

Grafic, acest lucru este reprezentat de figura următoare:

Suma $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ este reprezentată de „drumul de sus”, în care aplicăm mai întâi vectorul roșu $\overrightarrow{u}$ și abia apoi vectorul albastru $\overrightarrow{v}$. Suma $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ este reprezentată de „drumul de jos”, în care mergem mai întâi pe drumul vectorului albastru $\overrightarrow{v}$ și apoi al vectorului roșu $\overrightarrow{u}$. Rezultatul este însă același, vectorii se termină în același punct.

Poți să-ți imaginezi asta ca și cum ai pleca dintr-un loc și ai merge cincizeci de metri spre nord și apoi douăzeci de metri spre vest. Dacă ai merge mai întâi douăzeci de metri spre vest și apoi cincizeci de metri spre nord, ai ajunge în același loc. Un astfel de mers este deci comutativ.

Logica

Printre operațiile comutative se numără și operatorii logici „și” (conjuncția) și „sau” (disjuncția). Înseamnă că propoziția „numărul 5 este impar și, în același timp, prim” are aceeași valoare de adevăr ca propoziția „numărul 5 este prim și, în același timp, impar”. Similar pentru disjuncție: „numărul 6 este prim sau este par” are aceeași valoare de adevăr ca propoziția „numărul 6 este par sau este prim”.

Nu este însă comutativă implicația, deci propoziția „dacă câștig la loto, voi fi bogat” nu este același lucru cu „dacă voi fi bogat, atunci voi câștiga la loto”.