De unde vine numărul lui Euler

Numărul lui Euler este una dintre cele mai cunoscute constante matematice, alături de numărul pi – π. Vom vedea cum am ajuns la acest număr și ce înseamnă el.

În secolul al XVII-lea, matematicianul elvețian Jacob Bernoulli s-a ocupat de dobânda compusă. Să ne imaginăm că avem un leu pe care îl depunem la o bancă ce ne oferă o dobândă anuală de 100%. Din partea băncii e curată nebunie, dar ce n-ar face pentru binele matematicii. Cât vom avea în cont exact după un an? Vom avea doi lei.

Cum s-ar schimba situația dacă banca ne-ar oferi o dobândă de 50%, capitalizată la fiecare jumătate de an? Ar fi mai avantajos pentru noi sau mai puțin?

După primul semestru am avea cu jumătate mai mult. „Cu jumătate mai mult” se scrie în matematică $x\cdot (1+\frac{1}{2})$. În locul lui x punem depunerea noastră, adică un leu, și calculăm

$$1\cdot (1+\frac{1}{2})=1,5$$

După jumătate de an avem în cont 1,5 lei. După al doilea semestru am avea din nou cu încă jumătate mai mult. Folosim aceeași formulă, doar că în locul lui x punem noul sold, adică 1,5:

$$1,5\cdot (1+\frac{1}{2})=2,25$$

După un an avem deci în cont 2,25 lei. Capitalizarea mai deasă cu o dobândă mai mică este, așadar, avantajoasă pentru noi.

Dobânda capitalizată lunar

Ce-ar fi dacă banca ne-ar oferi capitalizare în fiecare lună, dar dobânda ar scădea la o douăsprezecime din dobânda inițială? Of, aici avem de calculat ceva mai mult. Ce sold vom avea după prima lună? Vom avea „cu o douăsprezecime mai mult”, ceea ce scriem $x\cdot (1+\frac{1}{12})$. După prima lună vom avea:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,083}3333\dots$$

După a doua lună vom avea

$$\mathrm{1,083}3333\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Observă însă că în locul numărului 1,0833333 putem folosi scrierea $1\cdot (1+\frac{1}{12})$, deoarece știm că aceste numere sunt egale:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

După a treia lună vom avea în cont:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,271}41203$$

După cum vezi, calculul nostru urmează un anumit tipar. Expresia din paranteză se repetă de tot atâtea ori câte luni calculăm. Putem simplifica expresia precedentă scriind, în loc de trei paranteze identice, una singură, ridicată la puterea a treia:

$$1\cdot {(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Iar înmulțirea cu unu de la început este de prisos, așa că o eliminăm:

$${(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Dacă vrem acum să calculăm soldul după douăsprezece luni, punem în exponent numărul 12 în loc de 3:

$${(1+\frac{1}{12})}^{12}=\mathrm{2,613}0352$$

După douăsprezece luni avem în cont aproximativ 2,6130352 lei. Nu e rău! Și este mult mai bine decât atunci când aveam dobânda anuală de 100%.

Dobânda continuă

Nu trebuie să ne oprim la luni. Cât am avea dacă am capitaliza în fiecare săptămână cu o dobândă egală cu $\frac{1}{52}$ din dobânda inițială? Deoarece cunoaștem formula, doar înlocuim:

$${(1+\frac{1}{52})}^{52}=\mathrm{2,692}5969$$

Dobândă zilnică?

$${(1+\frac{1}{365})}^{365}=\mathrm{2,714}5674$$

Dobândă orară? (Un an are 8760 de ore)

$${(1+\frac{1}{8760})}^{8760}=\mathrm{2,718}126$$

Vedem că, de fiecare dată când luăm o dobândă mai mică și capitalizăm mai des, la final avem puțin mai mulți bani în cont. Dar creșterile nu mai sunt atât de mari. Am putea continua așa la infinit. De fapt, nu este o idee rea – am putea capitaliza în fiecare minut, în fiecare secundă, în fiecare milisecundă, în fiecare nanosecundă… până am ajunge în situația în care capitalizăm permanent. Am avea o dobândă continuă, infimă, cu care am capitaliza soldul în fiecare clipă. Câți bani am avea în acest caz în cont după un an?

Înapoi la numărul lui Euler

Aceasta este întrebarea la care Jacob Bernoulli a încercat să răspundă. Din păcate nu a reușit, iar în secolul al XVIII-lea a reușit celebrul matematician Leonhard Euler. El a calculat că după un an am avea în cont

$$\mathrm{2,718}28182845904523536028747135\dots$$

lei. Vezi că nu este cu mult mai mult decât atunci când dobânda se adăuga în fiecare oră. Și deoarece s-a dovedit că acest sold, acest număr, este foarte important în diferite ramuri ale matematicii, se numește până azi numărul lui Euler și îl notăm cu litera e. Numărul lui Euler este un număr irațional, adică un număr care are o scriere zecimală infinită și neperiodică. Asemenea numărului π. Nu îl vei vedea deci niciodată în întregime. Totuși, putem defini exact numărul lui Euler cu ajutorul limitei unui șir:

$$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$$

Surse și trimiteri

• Un episod excelent al canalului englezesc Numberphile despre numărul lui Euler.
• Cum îți calculezi dobânda la un credit ipotecar