Sleva na slevu

Obchod láká na výprodej: sleva 20 % a na už zlevněné zboží dalších 20 %. Kolik ušetříme? Nabízí se obě slevy prostě sečíst a prohlásit, že 40 %. Ušetříme ale jen 36 %.

Proč to není 40 %

Všechno záleží na tom, z čeho se druhá sleva počítá. Druhá sleva se počítá ze zlevněné ceny, ne z původní. Zbytek je běžný výpočet s procenty.

Zkusme to na bundě, která stojí 1 000 Kč. Nejdřív vyčíslíme první slevu, 20 % z 1 000 Kč:

$$\frac{20}{100}\cdot 1000=200$$

Slevu odečteme od původní ceny:

$$1000-200=800$$

Po první slevě tedy bunda stojí 800 Kč. Druhá sleva činí 20 % z této nové ceny:

$$\frac{20}{100}\cdot 800=160$$

Odečteme i ji:

$$800-160=640$$

Bunda tak přijde na 640 Kč. Dohromady jsme ušetřili

$$1000-640=360$$

korun, což je z původních 1 000 Kč právě 36 %. Druhá sleva nám ubrala jen 160 Kč místo 200 Kč, protože se počítala z menší částky.

Rychleji násobením

Odečítání se dá úplně vynechat. Při slevě 20 % platíme 100 % − 20 % = 80 % ceny, takže stačí cenu vynásobit číslem 0,8. Druhá sleva znamená vynásobit 0,8 ještě jednou:

$$0,8\cdot 0,8=0,64$$

Zaplatíme 64 % původní ceny, takže sleva je 100 % − 64 % = 36 %. Pro bundu:

$$1000\cdot 0,64=640$$

Modře je cena, kterou bychom zaplatili, červeně to, co ubrala poslední sleva, a šedě čárkovaně kus, který zmizel už s první slevou. Ve třetím pruhu je červený kus menší než ve druhém, a to přesto, že jde pořád o slevu 20 %. Počítá se ale z kratšího pruhu.

Pro původní cenu c a libovolné slevy a a b v procentech je cena po obou slevách

$$c\cdot (1-\frac{a}{100})\cdot (1-\frac{b}{100})$$

Zajímavé je, že na pořadí slev nezáleží. Sleva 10 % a pak 30 % dá stejnou cenu jako 30 % a pak 10 %, protože násobení je komutativní. Obchodník vám tedy žádné výhodnější pořadí nenabídne, ať se tváří sebevíc velkoryse.

Zdražení a zlevnění

Podobná past čeká na zboží, které nejdřív zdraží o 20 % a pak zlevní o 20 %. Zdá se, že se cena vrátila tam, kde byla. Jenže zdražení o 20 % znamená násobit 1,2, a tak dostaneme

$$1,2\cdot 0,8=0,96$$

Cena skončí na 96 % původní ceny, o 4 % níž. Telefon za 5 000 Kč po zdražení stojí

$$5000\cdot 1,2=6000$$

korun. Sleva 20 % se teď počítá ze 6 000 Kč:

$$6000\cdot 0,8=4800$$

Telefon nakonec stojí 4 800 Kč, o 200 Kč méně než na začátku. Podobný příklad s knihou najdete v článku o procentech.

Kalkulačka

Cenu po dvou slevách vám spočítá i kalkulačka. Slevy zadejte v procentech.

Viz také

• Procenta
• Výpočet DPH
• Komutativita