Rabatt auf den Rabatt

Im Laden läuft der Ausverkauf: 20 % Rabatt und auf die schon reduzierte Ware noch einmal 20 %. Wie viel sparen wir? Es liegt nahe, beide Rabatte einfach zu addieren und von 40 % zu sprechen. Wir sparen aber nur 36 %.

Warum es nicht 40 % sind

Alles hängt davon ab, wovon der zweite Rabatt berechnet wird. Der zweite Rabatt wird vom reduzierten Preis berechnet, nicht vom ursprünglichen. Der Rest ist eine gewöhnliche Rechnung mit Prozenten.

Probieren wir es an einer Jacke, die 100 € kostet. Zuerst berechnen wir den ersten Rabatt, 20 % von 100 €:

$$\frac{20}{100}\cdot 100=20$$

Den Rabatt ziehen wir vom ursprünglichen Preis ab:

$$100-20=80$$

Nach dem ersten Rabatt kostet die Jacke also 80 €. Der zweite Rabatt beträgt 20 % von diesem neuen Preis:

$$\frac{20}{100}\cdot 80=16$$

Auch ihn ziehen wir ab:

$$80-16=64$$

Die Jacke kostet also 64 €. Insgesamt haben wir

$$100-64=36$$

Euro gespart, das sind von den ursprünglichen 100 € genau 36 %. Der zweite Rabatt hat uns nur 16 € statt 20 € erlassen, weil er von einem kleineren Betrag berechnet wurde.

Schneller durch Multiplikation

Das Subtrahieren können wir ganz weglassen. Bei 20 % Rabatt zahlen wir 100 % − 20 % = 80 % des Preises, es genügt also, den Preis mit 0,8 zu multiplizieren. Der zweite Rabatt bedeutet, noch einmal mit 0,8 zu multiplizieren:

$$0,8\cdot 0,8=0,64$$

Wir zahlen 64 % des ursprünglichen Preises, der Rabatt beträgt also 100 % − 64 % = 36 %. Für die Jacke:

$$100\cdot 0,64=64$$

Blau ist der Preis, den wir zahlen würden, rot das, was der letzte Rabatt abgezogen hat, und grau gestrichelt das Stück, das schon mit dem ersten Rabatt verschwunden ist. Im dritten Balken ist das rote Stück kleiner als im zweiten, obwohl es sich immer noch um einen Rabatt von 20 % handelt. Er wird aber vom kürzeren Balken berechnet.

Für einen ursprünglichen Preis c und beliebige Rabatte a und b in Prozent ist der Preis nach beiden Rabatten

$$c\cdot (1-\frac{a}{100})\cdot (1-\frac{b}{100})$$

Interessant ist, dass es auf die Reihenfolge der Rabatte nicht ankommt. 10 % Rabatt und dann 30 % ergeben denselben Preis wie 30 % und dann 10 %, weil die Multiplikation kommutativ ist. Der Händler wird dir also keine günstigere Reihenfolge anbieten, so großzügig er auch tut.

Preiserhöhung und Preissenkung

Eine ähnliche Falle wartet bei Ware, die erst um 20 % teurer und dann um 20 % billiger wird. Es sieht so aus, als wäre der Preis wieder dort, wo er war. Eine Preiserhöhung um 20 % bedeutet aber, mit 1,2 zu multiplizieren, und so erhalten wir

$$1,2\cdot 0,8=0,96$$

Der Preis landet bei 96 % des ursprünglichen Preises, also 4 % darunter. Ein Handy für 500 € kostet nach der Preiserhöhung

$$500\cdot 1,2=600$$

Euro. Der Rabatt von 20 % wird jetzt von 600 € berechnet:

$$600\cdot 0,8=480$$

Das Handy kostet am Ende 480 €, also 20 € weniger als am Anfang. Ein ähnliches Beispiel mit einem Buch findest du im Artikel über Prozente.

Rechner

Den Preis nach zwei Rabatten berechnet dir auch der Rechner. Gib die Rabatte in Prozent ein.

Siehe auch

• Rechnen mit Prozenten
• Mehrwertsteuer berechnen
• Kommutativgesetz