Reducere la reducere

Magazinul te îmbie cu o promoție: reducere de 20% și, pentru marfa deja ieftinită, încă 20%. Cât economisim? Te îndeamnă mintea să aduni pur și simplu cele două reduceri și să spui că e 40%. În realitate economisim doar 36%.

De ce nu sunt 40%

Totul depinde de valoarea din care se calculează a doua reducere. A doua reducere se calculează din prețul redus, nu din cel inițial. Restul este un calcul obișnuit cu procente.

Să încercăm pe o geacă ce costă 500 de lei. Mai întâi aflăm prima reducere, 20% din 500 de lei:

$$\frac{20}{100}\cdot 500=100$$

Reducerea o scădem din prețul inițial:

$$500-100=400$$

După prima reducere, geaca costă deci 400 de lei. A doua reducere este de 20% din acest preț nou:

$$\frac{20}{100}\cdot 400=80$$

O scădem și pe ea:

$$400-80=320$$

Geaca ajunge astfel la 320 de lei. În total am economisit

$$500-320=180$$

de lei, adică exact 36% din cei 500 de lei inițiali. A doua reducere ne-a luat doar 80 de lei în loc de 100 de lei, pentru că s-a calculat dintr-o sumă mai mică.

Mai repede, prin înmulțire

Scăderea se poate omite cu totul. La o reducere de 20% plătim 100% − 20% = 80% din preț, așa că ajunge să înmulțim prețul cu 0,8. A doua reducere înseamnă să înmulțim încă o dată cu 0,8:

$$0,8\cdot 0,8=0,64$$

Plătim 64% din prețul inițial, deci reducerea este de 100% − 64% = 36%. Pentru geacă:

$$500\cdot 0,64=320$$

Cu albastru este prețul pe care l-am plăti, cu roșu partea pe care a luat-o ultima reducere, iar cu gri, cu linie întreruptă, partea care a dispărut încă de la prima reducere. În a treia bară partea roșie este mai mică decât în a doua, deși este tot o reducere de 20%. Doar că se calculează dintr-o bară mai scurtă.

Pentru un preț inițial c și reduceri oarecare a și b, exprimate în procente, prețul după ambele reduceri este

$$c\cdot (1-\frac{a}{100})\cdot (1-\frac{b}{100})$$

Interesant este că ordinea reducerilor nu contează. O reducere de 10% și apoi una de 30% dau același preț ca 30% și apoi 10%, pentru că înmulțirea este comutativă. Deci negustorul nu-ți poate oferi o ordine mai avantajoasă, oricât de generos s-ar preface.

Scumpirea și ieftinirea

O capcană asemănătoare apare la marfa care se scumpește mai întâi cu 20% și apoi se ieftinește cu 20%. Pare că prețul s-a întors de unde a plecat. Dar o scumpire de 20% înseamnă înmulțire cu 1,2, deci obținem

$$1,2\cdot 0,8=0,96$$

Prețul ajunge la 96% din cel inițial, adică cu 4% mai jos. Un telefon de 2000 de lei costă după scumpire

$$2.000\cdot 1,2=2.400$$

de lei. Reducerea de 20% se calculează acum din 2400 de lei:

$$2.400\cdot 0,8=1.920$$

La final telefonul costă 1920 de lei, cu 80 de lei mai puțin decât la început. Un exemplu asemănător, cu o carte, găsești în articolul despre procente.

Calculator

Prețul după două reduceri ți-l calculează și calculatorul. Introdu reducerile în procente.

Vezi și

• Calculul cu procente
• Calculul TVA
• Comutativitatea