Знижка на знижку

Магазин зваблює розпродажем: знижка 20 %, а на вже уцінений товар ще 20 %. Скільки ми заощадимо? Напрошується просто додати обидві знижки й заявити, що це 40 %. Але заощадимо лише 36 %.

Чому це не 40 %

Усе залежить від того, від чого рахується друга знижка. Друга знижка рахується від зниженої ціни, а не від початкової. Решта — звичайне обчислення з відсотками.

Спробуймо на куртці, яка коштує 2 000 грн. Спершу обчислимо першу знижку, 20 % від 2 000 грн:

$$\frac{20}{100}\cdot 2000=400$$

Віднімемо знижку від початкової ціни:

$$2000-400=1600$$

Отже, після першої знижки куртка коштує 1 600 грн. Друга знижка становить 20 % від цієї нової ціни:

$$\frac{20}{100}\cdot 1600=320$$

Віднімемо й її:

$$1600-320=1280$$

Куртка коштуватиме 1 280 грн. Разом ми заощадили

$$2000-1280=720$$

гривень, а це від початкових 2 000 грн рівно 36 %. Друга знижка зменшила ціну лише на 320 грн замість 400 грн, бо рахувалася від меншої суми.

Швидше множенням

Віднімання можна взагалі пропустити. За знижки 20 % ми платимо 100 % − 20 % = 80 % ціни, тож досить помножити ціну на число 0,8. Друга знижка означає помножити на 0,8 ще раз:

$$0,8\cdot 0,8=0,64$$

Заплатимо 64 % початкової ціни, отже, знижка становить 100 % − 64 % = 36 %. Для куртки:

$$2000\cdot 0,64=1280$$

Синім позначено ціну, яку ми заплатили б, червоним — те, що зняла остання знижка, а сірим пунктиром — частину, яка зникла вже з першою знижкою. У третій смузі червона частина менша, ніж у другій, хоча це й далі знижка 20 %. Просто вона рахується від коротшої смуги.

Для початкової ціни c і будь-яких знижок a та b у відсотках ціна після обох знижок дорівнює

$$c\cdot (1-\frac{a}{100})\cdot (1-\frac{b}{100})$$

Цікаво, що порядок знижок не має значення. Знижка 10 %, а потім 30 % дає ту саму ціну, що 30 %, а потім 10 %, бо множення комутативне. Тож продавець не запропонує тобі жодного вигіднішого порядку, хоч би як він удавав щедрість.

Подорожчання й подешевшання

Схожа пастка чекає на товар, який спершу дорожчає на 20 %, а потім дешевшає на 20 %. Здається, що ціна повернулася туди, де була. Але подорожчання на 20 % означає множити на 1,2, і ми отримуємо

$$1,2\cdot 0,8=0,96$$

Ціна опиняється на рівні 96 % початкової, тобто на 4 % нижче. Телефон за 10 000 грн після подорожчання коштує

$$10000\cdot 1,2=12000$$

гривень. Знижка 20 % тепер рахується від 12 000 грн:

$$12000\cdot 0,8=9600$$

Зрештою телефон коштує 9 600 грн, на 400 грн менше, ніж на початку. Подібний приклад із книжкою знайдеш у статті про відсотки.

Калькулятор

Ціну після двох знижок обчислить і калькулятор. Знижки вводь у відсотках.

Див. також

• Обчислення з відсотками
• Обчислення ПДВ
• Комутативність