Součet úhlů v mnohoúhelníku

Sečteme-li vnitřní úhly libovolného trojúhelníku, dostaneme vždy 180°. Nevadí, jestli je ostroúhlý, tupoúhlý, nebo drobný jako známka na dopis. A jak je to u čtyřúhelníku, pětiúhelníku nebo šestiúhelníku? Kolik dají jejich úhly dohromady?

Rozdělíme ho na trojúhelníky

Vezmeme pětiúhelník ABCDE a z vrcholu A vedeme úhlopříčky do všech vrcholů, se kterými ještě není spojený stranou. Jsou to úhlopříčky AC a AD. Pětiúhelník se jimi rozpadne na tři trojúhelníky:

Podívejte se na barevné úhly. Každý úhel trojúhelníku leží v některém vrcholu pětiúhelníku a dohromady vyplní všechny vnitřní úhly pětiúhelníku, nic nepřebývá a nic nechybí. U vrcholu A se sejdou úhly všech tří trojúhelníků, u C a D jen dvou. Pětiúhelník má tedy stejný součet úhlů jako tři trojúhelníky dohromady, 3 · 180°.

Úplně stejně to dopadne u každého konvexního mnohoúhelníku. Z jednoho vrcholu vedou úhlopříčky do všech ostatních vrcholů kromě dvou sousedních, a n-úhelník se tak rozpadne na n − 2 trojúhelníků. Součet vnitřních úhlů n-úhelníku tedy je

$$(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Vzorec platí i pro nekonvexní mnohoúhelníky, tedy takové, které mají některý vnitřní úhel větší než 180°. Rozdělit se na trojúhelníky dají taky, jenže úhlopříčky nemusí vycházet všechny z jednoho vrcholu.

Čtyřúhelník má čtyři vrcholy, dosadíme n = 4:

$$(4-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Sedí to i u čtverce: jeho čtyři pravé úhly dají dohromady právě 4 · 90° = 360°.

U pětiúhelníku je n = 5:

$$(5-2)\cdot {180}^{\circ }=3\cdot {180}^{\circ }={540}^{\circ }$$

A šestiúhelník, tedy n = 6:

$$(6-2)\cdot {180}^{\circ }=4\cdot {180}^{\circ }={720}^{\circ }$$

S každým dalším vrcholem přibude jeden trojúhelník a součet úhlů vzroste o 180°.

Proč ne n trojúhelníků?

Mnohoúhelník se dá rozřezat i jinak. Zvolíme si bod S uvnitř a spojíme ho se všemi vrcholy. Pětiúhelník se tak rozpadne na pět trojúhelníků. Lákavý závěr zní, že součet úhlů je 5 · 180°. Jenže to je chyba.

Úhly trojúhelníků u bodu S mezi vnitřní úhly pětiúhelníku nepatří. Dohromady tvoří plný úhel 360° a ten musíme odečíst:

$$5\cdot {180}^{\circ }-{360}^{\circ }={900}^{\circ }-{360}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Vyšlo to totéž co předtím. A stejný výsledek dostaneme u každého konvexního n-úhelníku, protože 360° = 2 · 180°:

$$n\cdot {180}^{\circ }-2\cdot {180}^{\circ }=(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Pravidelný mnohoúhelník

U pravidelného mnohoúhelníku jsou všechny strany stejně dlouhé a všechny úhly stejně velké. Jeden úhel dostaneme tak, že součet všech úhlů vydělíme jejich počtem n:

$$\frac{(n-2)\cdot {180}^{\circ }}{n}$$

Úhly pravidelného pětiúhelníku měří 540°:5 = 108°, u pravidelného šestiúhelníku je to 720°:6 = 120°.

Pravidelné šestiúhelníky staví včely. Plástev je z nich poskládaná bez jediné mezery, protože se u každého vrcholu sejdou tři šestiúhelníky a jejich úhly dají dohromady

$$3\cdot {120}^{\circ }={360}^{\circ },$$

tedy přesně plný úhel.

S pravidelnými pětiúhelníky by to nešlo: tři úhly po 108° dají 324°, takže by zbyla mezera, a čtyři dají 432°, což už je moc. Jak spočítat plochu pravidelného mnohoúhelníku, najdete v článku obsah pravidelného n-úhelníku.

Vnější úhly dají dohromady 360°

Vnější úhel vznikne, když stranu mnohoúhelníku prodloužíme za vrchol. Je to úhel mezi prodloužením a další stranou. Představte si, že obcházíte pětiúhelník po obvodu. V každém vrcholu zatočíte právě o vnější úhel. Když se vrátíte na start, koukáte stejným směrem jako na začátku, takže jste se otočili jednou dokola, o 360°.

Ciferník vpravo ukazuje, o kolik se šipka už celkem otočila.

Totéž vyjde i početně. Vnitřní a vnější úhel u jednoho vrcholu jsou vedlejší, dohromady tedy 180°. U n vrcholů je to celkem n · 180°. Z toho (n − 2) · 180° připadne na vnitřní úhly a na vnější zbude

$$n\cdot {180}^{\circ }-(n-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Na počtu vrcholů nezáleží. Součet vnějších úhlů konvexního mnohoúhelníku je vždycky 360°, ať jde o trojúhelník, nebo o stoúhelník.

Viz také

• Trojúhelník
• Obsah pravidelného n-úhelníku
• Úhel
• Shodnost trojúhelníků