A sokszög belső szögeinek összege
Ha összeadjuk egy tetszőleges háromszög belső szögeit, mindig 180°-ot kapunk. Mindegy, hogy hegyesszögű, tompaszögű, vagy akár apró, mint egy levélbélyeg. De hogy van ez a négyszögnél, az ötszögnél vagy a hatszögnél? Mennyi a szögeik összege?
Háromszögekre bontjuk
Vegyük az ABCDE ötszöget, és az A csúcsból húzzunk átlókat minden olyan csúcshoz, amellyel még nem köti össze oldal. Ezek az AC és az AD átló. Az ötszög ezektől három háromszögre esik szét:
Nézd meg a színes szögeket. A háromszögek minden szöge az ötszög valamelyik csúcsánál van, és együtt kitöltik az ötszög összes belső szögét, semmi sem marad ki, és semmi sem lóg túl. Az A csúcsnál mindhárom háromszög szöge találkozik, a C és a D csúcsnál csak kettőé. Az ötszög szögeinek összege tehát ugyanannyi, mint három háromszögé együtt, 3 · 180°.
Pontosan ugyanígy van ez minden konvex sokszögnél. Egy csúcsból átlók indulnak az összes többi csúcshoz, kivéve a két szomszédosat, és az n-szög így n − 2 háromszögre esik szét. Az n-szög belső szögeinek összege tehát
A képlet a nem konvex sokszögekre is igaz, vagyis azokra, amelyeknek van 180°-nál nagyobb belső szögük. Háromszögekre ezek is felbonthatók, csak az átlók nem feltétlenül indulnak mind egy csúcsból.
A négyszögnek négy csúcsa van, helyettesítsünk be n = 4-et:
Ez a négyzetnél is stimmel: a négy derékszöge együtt éppen 4 · 90° = 360°.
Az ötszögnél n = 5:
A hatszög pedig, vagyis n = 6:
Minden további csúccsal egy háromszöggel több lesz, és a szögek összege 180°-kal nő.
Miért nem n háromszög?
A sokszöget másképp is szét lehet vágni. Választunk egy S pontot belül, és összekötjük az összes csúccsal. Az ötszög így öt háromszögre esik szét. A csábító következtetés az, hogy a szögek összege 5 · 180°. Csakhogy ez hiba.
A háromszögek S pontnál lévő szögei nem tartoznak az ötszög belső szögei közé. Együtt teljes szöget alkotnak, 360°-ot, és ezt le kell vonnunk:
Ugyanaz jött ki, mint az előbb. És ugyanezt az eredményt kapjuk minden konvex n-szögnél, mert 360° = 2 · 180°:
Szabályos sokszög
A szabályos sokszögnél minden oldal egyforma hosszú, és minden szög egyforma nagy. Egy szöget úgy kapunk, hogy az összes szög összegét elosztjuk a szögek n számával:
A szabályos ötszög szögei 540°:5 = 108° nagyságúak, a szabályos hatszögnél ez 720°:6 = 120°.
Szabályos hatszögekből építenek a méhek. A lépet hézag nélkül rakják ki belőlük, mert minden csúcsnál három hatszög találkozik, és a szögeik együtt
vagyis pontosan egy teljes szöget adnak.
Szabályos ötszögekkel ez nem menne: három 108°-os szög 324°-ot ad, tehát maradna egy rés, négy pedig 432°-ot, ami már sok. Hogyan számolhatod ki a szabályos sokszög területét, azt a szabályos sokszög területe cikkben találod.
A külső szögek együtt 360°-ot adnak
A külső szög akkor keletkezik, ha a sokszög oldalát meghosszabbítjuk a csúcson túl. Ez a szög a meghosszabbítás és a következő oldal között van. Képzeld el, hogy körbejársz egy ötszöget a kerülete mentén. Minden csúcsnál éppen a külső szöggel fordulsz el. Amikor visszaérsz a startra, ugyanabba az irányba nézel, mint az elején, tehát egyszer fordultál körbe, 360°-kal.
A jobb oldali számlap azt mutatja, hogy a nyíl eddig összesen mennyit fordult el.
Ugyanez számolással is kijön. Az egy csúcsnál lévő belső és külső szög mellékszög, együtt tehát 180°. n csúcsnál ez összesen n · 180°. Ebből (n − 2) · 180° jut a belső szögekre, a külsőkre pedig ennyi marad:
A csúcsok számán nem múlik semmi. A konvex sokszög külső szögeinek összege mindig 360°, legyen szó háromszögről vagy százszögről.
Lásd még
Fejezetek: Szög, A szögfelező szerkesztése, Szög másolása, A szög ívmértéke, Irányított szög, A sokszög belső szögeinek összege, Az emelkedés átszámítása szögre
