Winkelsumme im Vieleck

Addieren wir die Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks, erhalten wir immer 180°. Es spielt keine Rolle, ob es spitzwinklig oder stumpfwinklig ist oder winzig wie eine Briefmarke. Und wie ist es bei einem Viereck, Fünfeck oder Sechseck? Wie viel ergeben ihre Winkel zusammen?

Wir zerlegen es in Dreiecke

Nehmen wir das Fünfeck ABCDE und ziehen vom Eckpunkt A aus Diagonalen zu allen Eckpunkten, mit denen er noch nicht durch eine Seite verbunden ist. Das sind die Diagonalen AC und AD. Sie zerlegen das Fünfeck in drei Dreiecke:

Sieh dir die farbigen Winkel an. Jeder Winkel eines Dreiecks liegt an einer Ecke des Fünfecks, und zusammen füllen sie alle Innenwinkel des Fünfecks aus – nichts bleibt übrig und nichts fehlt. Bei A treffen die Winkel aller drei Dreiecke zusammen, bei C und D nur die von zweien. Das Fünfeck hat also dieselbe Winkelsumme wie drei Dreiecke zusammen, nämlich 3 · 180°.

Genauso geht es bei jedem konvexen Vieleck. Von einem Eckpunkt aus führen Diagonalen zu allen anderen Eckpunkten außer den zwei benachbarten, und das n-Eck zerfällt so in n − 2 Dreiecke. Die Summe der Innenwinkel eines n-Ecks ist daher

$$(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Die Formel gilt auch für nichtkonvexe Vielecke, also solche, die einen Innenwinkel größer als 180° haben. Auch sie lassen sich in Dreiecke zerlegen, nur müssen die Diagonalen nicht alle von einem Eckpunkt ausgehen.

Ein Viereck hat vier Ecken, wir setzen n = 4 ein:

$$(4-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Das stimmt auch beim Quadrat: Seine vier rechten Winkel ergeben zusammen genau 4 · 90° = 360°.

Beim Fünfeck ist n = 5:

$$(5-2)\cdot {180}^{\circ }=3\cdot {180}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Und das Sechseck, also n = 6:

$$(6-2)\cdot {180}^{\circ }=4\cdot {180}^{\circ }={720}^{\circ }$$

Mit jeder weiteren Ecke kommt ein Dreieck hinzu, und die Winkelsumme wächst um 180°.

Warum nicht n Dreiecke?

Ein Vieleck lässt sich auch anders zerschneiden. Wir wählen einen Punkt S im Inneren und verbinden ihn mit allen Eckpunkten. Das Fünfeck zerfällt so in fünf Dreiecke. Der verlockende Schluss lautet, dass die Winkelsumme 5 · 180° beträgt. Aber das ist falsch.

Die Winkel der Dreiecke bei S gehören nicht zu den Innenwinkeln des Fünfecks. Zusammen bilden sie einen Vollwinkel von 360°, und den müssen wir abziehen:

$$5\cdot {180}^{\circ }-{360}^{\circ }={900}^{\circ }-{360}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Es kam dasselbe heraus wie vorhin. Und dasselbe Ergebnis erhalten wir bei jedem konvexen n-Eck, denn 360° = 2 · 180°:

$$n\cdot {180}^{\circ }-2\cdot {180}^{\circ }=(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Regelmäßiges Vieleck

Bei einem regelmäßigen Vieleck sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß. Einen Winkel erhalten wir, indem wir die Summe aller Winkel durch ihre Anzahl n teilen:

$$\frac{(n-2)\cdot {180}^{\circ }}{n}$$

Die Winkel eines regelmäßigen Fünfecks betragen 540°:5 = 108°, beim regelmäßigen Sechseck sind es 720°:6 = 120°.

Regelmäßige Sechsecke bauen die Bienen. Die Wabe besteht aus ihnen und hat keine einzige Lücke, weil sich an jeder Ecke drei Sechsecke treffen und ihre Winkel zusammen

$$3\cdot {120}^{\circ }={360}^{\circ },$$

ergeben, also genau einen Vollwinkel.

Mit regelmäßigen Fünfecken ginge das nicht: Drei Winkel zu je 108° ergeben 324°, es bliebe also eine Lücke, und vier ergeben 432°, das ist schon zu viel. Wie man den Flächeninhalt eines regelmäßigen Vielecks berechnet, findest du im Artikel Flächeninhalt eines regelmäßigen Vielecks.

Die Außenwinkel ergeben zusammen 360°

Ein Außenwinkel entsteht, wenn wir eine Seite des Vielecks über die Ecke hinaus verlängern. Es ist der Winkel zwischen der Verlängerung und der nächsten Seite. Stell dir vor, du läufst am Rand um ein Fünfeck herum. An jeder Ecke drehst du dich genau um den Außenwinkel. Wenn du wieder am Start ankommst, schaust du in dieselbe Richtung wie am Anfang, also hast du dich einmal ganz herumgedreht, um 360°.

Das Zifferblatt rechts zeigt, um wie viel sich der Pfeil insgesamt schon gedreht hat.

Dasselbe ergibt sich auch rechnerisch. Der Innen- und der Außenwinkel an einer Ecke sind Nebenwinkel, zusammen also 180°. Bei n Ecken sind das insgesamt n · 180°. Davon entfallen (n − 2) · 180° auf die Innenwinkel, und für die Außenwinkel bleibt

$$n\cdot {180}^{\circ }-(n-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Auf die Anzahl der Ecken kommt es nicht an. Die Summe der Außenwinkel eines konvexen Vielecks ist immer 360°, egal ob es ein Dreieck oder ein Hunderteck ist.

Siehe auch

• Dreieck
• Flächeninhalt eines regelmäßigen Vielecks
• Winkel
• Kongruenz von Dreiecken