Suma kątów w wielokącie

Jeśli dodamy kąty wewnętrzne dowolnego trójkąta, zawsze dostaniemy 180°. Nie ma znaczenia, czy jest ostrokątny, rozwartokątny, czy malutki jak znaczek pocztowy. A jak jest w czworokącie, pięciokącie czy sześciokącie? Ile dają razem ich kąty?

Podzielimy go na trójkąty

Weźmy pięciokąt ABCDE i z wierzchołka A poprowadźmy przekątne do wszystkich wierzchołków, z którymi nie jest jeszcze połączony bokiem. Są to przekątne AC i AD. Pięciokąt rozpada się przez nie na trzy trójkąty:

Przyjrzyj się kolorowym kątom. Każdy kąt trójkąta leży przy jakimś wierzchołku pięciokąta i razem wypełniają wszystkie kąty wewnętrzne pięciokąta: nic nie zostaje i niczego nie brakuje. Przy wierzchołku A spotykają się kąty wszystkich trzech trójkątów, przy C i D tylko dwóch. Pięciokąt ma więc taką samą sumę kątów jak trzy trójkąty razem, czyli 3 · 180°.

Dokładnie tak samo jest w każdym wielokącie wypukłym. Z jednego wierzchołka prowadzą przekątne do wszystkich pozostałych wierzchołków oprócz dwóch sąsiednich, więc n-kąt rozpada się na n − 2 trójkątów. Suma kątów wewnętrznych n-kąta wynosi zatem

$$(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Wzór obowiązuje także dla wielokątów niewypukłych, czyli takich, które mają jakiś kąt wewnętrzny większy niż 180°. Je również da się podzielić na trójkąty, tyle że przekątne nie muszą wychodzić wszystkie z jednego wierzchołka.

Czworokąt ma cztery wierzchołki, podstawiamy n = 4:

$$(4-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Zgadza się to też dla kwadratu: jego cztery kąty proste dają razem dokładnie 4 · 90° = 360°.

W pięciokącie mamy n = 5:

$$(5-2)\cdot {180}^{\circ }=3\cdot {180}^{\circ }={540}^{\circ }$$

A sześciokąt, czyli n = 6:

$$(6-2)\cdot {180}^{\circ }=4\cdot {180}^{\circ }={720}^{\circ }$$

Z każdym kolejnym wierzchołkiem przybywa jeden trójkąt, a suma kątów rośnie o 180°.

Dlaczego nie n trójkątów?

Wielokąt można pociąć także inaczej. Wybieramy punkt S wewnątrz i łączymy go ze wszystkimi wierzchołkami. Pięciokąt rozpada się wtedy na pięć trójkątów. Kuszący wniosek brzmi: suma kątów to 5 · 180°. Ale to błąd.

Kąty trójkątów przy punkcie S nie należą do kątów wewnętrznych pięciokąta. Razem tworzą kąt pełny 360° i musimy go odjąć:

$$5\cdot {180}^{\circ }-{360}^{\circ }={900}^{\circ }-{360}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Wyszło to samo co wcześniej. Taki sam wynik dostaniemy w każdym wypukłym n-kącie, ponieważ 360° = 2 · 180°:

$$n\cdot {180}^{\circ }-2\cdot {180}^{\circ }=(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Wielokąt foremny

W wielokącie foremnym wszystkie boki są równej długości i wszystkie kąty mają tę samą miarę. Jeden kąt dostaniemy, dzieląc sumę wszystkich kątów przez ich liczbę n:

$$\frac{(n-2)\cdot {180}^{\circ }}{n}$$

Kąty pięciokąta foremnego mają 540°:5 = 108°, a w sześciokącie foremnym to 720°:6 = 120°.

Sześciokąty foremne budują pszczoły. Plaster miodu jest z nich złożony bez żadnej szczeliny, bo przy każdym wierzchołku spotykają się trzy sześciokąty, a ich kąty dają razem

$$3\cdot {120}^{\circ }={360}^{\circ },$$

czyli dokładnie kąt pełny.

Z pięciokątami foremnymi by się to nie udało: trzy kąty po 108° dają 324°, więc zostałaby szczelina, a cztery dają 432°, czyli już za dużo. Jak obliczyć pole wielokąta foremnego, znajdziesz w artykule pole wielokąta foremnego.

Kąty zewnętrzne dają razem 360°

Kąt zewnętrzny powstaje, gdy przedłużymy bok wielokąta poza wierzchołek. To kąt między przedłużeniem a następnym bokiem. Wyobraź sobie, że idziesz dookoła pięciokąta wzdłuż jego obwodu. W każdym wierzchołku skręcasz dokładnie o kąt zewnętrzny. Kiedy wrócisz na start, patrzysz w tę samą stronę co na początku, więc obróciłeś się jeden raz dookoła, o 360°.

Tarcza po prawej pokazuje, o ile strzałka już się łącznie obróciła.

To samo wychodzi też rachunkiem. Kąt wewnętrzny i zewnętrzny przy jednym wierzchołku są przyległe, więc razem dają 180°. Przy n wierzchołkach to w sumie n · 180°. Z tego (n − 2) · 180° przypada na kąty wewnętrzne, a na zewnętrzne zostaje

$$n\cdot {180}^{\circ }-(n-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Liczba wierzchołków nie ma znaczenia. Suma kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego zawsze wynosi 360°, czy to trójkąt, czy stukąt.

Zobacz też

• Trójkąt
• Pole wielokąta foremnego
• Kąt
• Przystawanie trójkątów