✖

Άθροισμα γωνιών πολυγώνου

Αν προσθέσουμε τις εσωτερικές γωνίες ενός οποιουδήποτε τριγώνου, παίρνουμε πάντα 180°. Δεν πειράζει αν είναι οξυγώνιο, αμβλυγώνιο ή μικροσκοπικό σαν γραμματόσημο. Πώς είναι όμως τα πράγματα στο τετράπλευρο, στο πεντάγωνο ή στο εξάγωνο; Πόσο κάνουν μαζί οι γωνίες τους;

Το χωρίζουμε σε τρίγωνα

Παίρνουμε ένα πεντάγωνο ABCDE και από την κορυφή A φέρνουμε διαγώνιους προς όλες τις κορυφές που δεν ενώνονται ήδη με αυτήν με πλευρά. Είναι οι διαγώνιοι AC και AD. Το πεντάγωνο χωρίζεται έτσι σε τρία τρίγωνα:

Οι διαγώνιοι από την κορυφή A χωρίζουν το πεντάγωνο σε τρία τρίγωνα

Κοίταξε τις χρωματιστές γωνίες. Κάθε γωνία κάθε τριγώνου βρίσκεται σε κάποια κορυφή του πενταγώνου και όλες μαζί γεμίζουν ακριβώς τις εσωτερικές γωνίες του πενταγώνου: τίποτα δεν περισσεύει και τίποτα δεν λείπει. Στην κορυφή A συναντιούνται οι γωνίες και των τριών τριγώνων, στις C και D μόνο δύο τριγώνων. Το πεντάγωνο έχει λοιπόν το ίδιο άθροισμα γωνιών με τρία τρίγωνα μαζί, δηλαδή 3 · 180°.

Ακριβώς το ίδιο συμβαίνει σε κάθε κυρτό πολύγωνο. Από μία κορυφή φέρνουμε διαγώνιους προς όλες τις άλλες κορυφές εκτός από τις δύο διπλανές, και έτσι ένα n-γωνο χωρίζεται σε n − 2 τρίγωνα. Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός n-γώνου είναι επομένως

(n−2)⋅180∘

Ο τύπος ισχύει και για μη κυρτά πολύγωνα, δηλαδή για εκείνα που έχουν κάποια εσωτερική γωνία μεγαλύτερη από 180°. Και αυτά χωρίζονται σε τρίγωνα, μόνο που οι διαγώνιοι δεν χρειάζεται να ξεκινούν όλες από την ίδια κορυφή.

Το τετράπλευρο έχει τέσσερις κορυφές, οπότε βάζουμε n = 4:

(4−2)⋅180∘=2⋅180∘=360∘

Βγαίνει σωστά και στο τετράγωνο: οι τέσσερις ορθές γωνίες του κάνουν μαζί ακριβώς 4 · 90° = 360°.

Στο πεντάγωνο είναι n = 5:

(5−2)⋅180∘=3⋅180∘=540∘

Και το εξάγωνο, δηλαδή n = 6:

(6−2)⋅180∘=4⋅180∘=720∘

Με κάθε νέα κορυφή προστίθεται ένα τρίγωνο και το άθροισμα των γωνιών αυξάνεται κατά 180°.

Γιατί όχι n τρίγωνα;

Ένα πολύγωνο μπορεί να κοπεί και αλλιώς. Διαλέγουμε ένα σημείο S στο εσωτερικό και το ενώνουμε με όλες τις κορυφές. Το πεντάγωνο χωρίζεται έτσι σε πέντε τρίγωνα. Το δελεαστικό συμπέρασμα είναι ότι το άθροισμα των γωνιών είναι 5 · 180°. Μόνο που αυτό είναι λάθος.

Πεντάγωνο χωρισμένο από το σημείο S σε πέντε τρίγωνα, γύρω από το S σχηματίζεται πλήρης γωνία

Οι γωνίες των τριγώνων στο σημείο S δεν ανήκουν στις εσωτερικές γωνίες του πενταγώνου. Μαζί σχηματίζουν μια πλήρη γωνία 360° και αυτή πρέπει να την αφαιρέσουμε:

5⋅180∘−360∘=900∘−360∘=540∘

Βγήκε το ίδιο με πριν. Και το ίδιο αποτέλεσμα παίρνουμε σε κάθε κυρτό n-γωνο, επειδή 360° = 2 · 180°:

n⋅180∘−2⋅180∘=(n−2)⋅180∘

Κανονικό πολύγωνο

Στο κανονικό πολύγωνο όλες οι πλευρές έχουν ίσο μήκος και όλες οι γωνίες ίσο μέτρο. Μία γωνία την παίρνουμε αν διαιρέσουμε το άθροισμα όλων των γωνιών με το πλήθος τους n:

(n−2)⋅180∘n

Οι γωνίες του κανονικού πενταγώνου έχουν μέτρο 540°:5 = 108°, ενώ στο κανονικό εξάγωνο είναι 720°:6 = 120°.

Κανονικά εξάγωνα φτιάχνουν οι μέλισσες. Η κηρήθρα αποτελείται από αυτά χωρίς κανένα κενό, επειδή σε κάθε κορυφή συναντιούνται τρία εξάγωνα και οι γωνίες τους κάνουν μαζί

3⋅120∘=360∘,

δηλαδή ακριβώς μια πλήρη γωνία.

Τρία εξάγωνα συναντιούνται σε μια κορυφή και σχηματίζουν πλήρη γωνία

Με κανονικά πεντάγωνα αυτό δεν θα γινόταν: τρεις γωνίες των 108° κάνουν 324°, άρα θα έμενε κενό, και τέσσερις κάνουν 432°, που είναι ήδη πολύ. Πώς υπολογίζεται το εμβαδόν ενός κανονικού πολυγώνου, θα βρεις στο άρθρο εμβαδόν κανονικού πολυγώνου.

Οι εξωτερικές γωνίες κάνουν μαζί 360°

Η εξωτερική γωνία σχηματίζεται όταν προεκτείνουμε μια πλευρά του πολυγώνου πέρα από την κορυφή. Είναι η γωνία ανάμεσα στην προέκταση και την επόμενη πλευρά. Φαντάσου ότι περπατάς γύρω από ένα πεντάγωνο, πάνω στην περίμετρό του. Σε κάθε κορυφή στρίβεις ακριβώς κατά μια εξωτερική γωνία. Όταν γυρίσεις στην αφετηρία, κοιτάς προς την ίδια κατεύθυνση όπως στην αρχή, άρα έχεις κάνει έναν πλήρη γύρο, δηλαδή έχεις στραφεί κατά 360°.

Ένα βέλος διατρέχει το πεντάγωνο και σε κάθε κορυφή στρίβει κατά μια εξωτερική γωνία, συνολικά κατά μια πλήρη γωνία

Το καντράν δεξιά δείχνει πόσο έχει ήδη στραφεί συνολικά το βέλος.

Το ίδιο βγαίνει και με υπολογισμό. Η εσωτερική και η εξωτερική γωνία σε μία κορυφή είναι εφεξής και παραπληρωματικές, άρα κάνουν μαζί 180°. Στις n κορυφές αυτό δίνει συνολικά n · 180°. Από αυτά τα (n − 2) · 180° αντιστοιχούν στις εσωτερικές γωνίες και στις εξωτερικές μένουν

n⋅180∘−(n−2)⋅180∘=2⋅180∘=360∘

Το πλήθος των κορυφών δεν παίζει ρόλο. Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου είναι πάντα 360°, είτε πρόκειται για τρίγωνο είτε για εκατόγωνο.

Δες επίσης

Κεφάλαια: Γωνία, Πώς κατασκευάζουμε τη διχοτόμο γωνίας, Μεταφορά γωνίας, Μέτρηση γωνιών σε ακτίνια, Προσανατολισμένη γωνία, Άθροισμα γωνιών πολυγώνου, Μετατροπή κλίσης σε γωνία