Vinkelsummen i mangekanter

Hvis vi legger sammen de indre vinklene i en hvilken som helst trekant, får vi alltid 180°. Det spiller ingen rolle om den er spissvinklet, stumpvinklet eller liten som et frimerke på et brev. Men hvordan er det med en firkant, en femkant eller en sekskant? Hvor mye blir vinklene deres til sammen?

Vi deler den opp i trekanter

Vi tar femkanten ABCDE og trekker diagonaler fra hjørnet A til alle hjørner som det ikke allerede er forbundet med en side. Det er diagonalene AC og AD. Femkanten faller dermed fra hverandre i tre trekanter:

Se på de fargede vinklene. Hver vinkel i en trekant ligger i et hjørne av femkanten, og til sammen fyller de alle de indre vinklene i femkanten, ingenting blir til overs og ingenting mangler. I hjørnet A møtes vinklene fra alle tre trekantene, i C og D bare fra to. Femkanten har altså samme vinkelsum som tre trekanter til sammen, 3 · 180°.

Nøyaktig det samme skjer i hver eneste konvekse mangekant. Fra ett hjørne går det diagonaler til alle andre hjørner bortsett fra de to naboene, og en n-kant faller dermed fra hverandre i n − 2 trekanter. Summen av de indre vinklene i en n-kant er derfor

$$(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Formelen gjelder også for konkave mangekanter, altså slike som har en indre vinkel som er større enn 180°. De kan også deles opp i trekanter, men diagonalene trenger ikke alle gå ut fra ett hjørne.

En firkant har fire hjørner, så vi setter inn n = 4:

$$(4-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Det stemmer også for kvadratet: de fire rette vinklene er til sammen nøyaktig 4 · 90° = 360°.

For en femkant er n = 5:

$$(5-2)\cdot {180}^{\circ }=3\cdot {180}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Og sekskanten, altså n = 6:

$$(6-2)\cdot {180}^{\circ }=4\cdot {180}^{\circ }={720}^{\circ }$$

For hvert nytt hjørne kommer det til én trekant, og vinkelsummen øker med 180°.

Hvorfor ikke n trekanter?

En mangekant kan også deles opp på andre måter. Vi velger et punkt S inni og forbinder det med alle hjørnene. Femkanten faller da fra hverandre i fem trekanter. Den fristende konklusjonen er at vinkelsummen er 5 · 180°. Men det er feil.

Vinklene i trekantene ved punktet S hører ikke med blant de indre vinklene i femkanten. Til sammen danner de en full vinkel på 360°, og den må vi trekke fra:

$$5\cdot {180}^{\circ }-{360}^{\circ }={900}^{\circ }-{360}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Det ble det samme som før. Og vi får det samme resultatet i hver konveks n-kant, siden 360° = 2 · 180°:

$$n\cdot {180}^{\circ }-2\cdot {180}^{\circ }=(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Regulær mangekant

I en regulær mangekant er alle sidene like lange og alle vinklene like store. Vi får én vinkel ved å dele summen av alle vinklene på antallet n:

$$\frac{(n-2)\cdot {180}^{\circ }}{n}$$

Vinklene i en regulær femkant er 540°:5 = 108°, og i en regulær sekskant er de 720°:6 = 120°.

Bier bygger regulære sekskanter. Vokskaken er satt sammen av dem uten et eneste mellomrom, fordi det møtes tre sekskanter i hvert hjørne, og vinklene deres er til sammen

$$3\cdot {120}^{\circ }={360}^{\circ },$$

altså nøyaktig en full vinkel.

Med regulære femkanter ville det ikke gå: tre vinkler på 108° blir 324°, så det ville bli et mellomrom igjen, og fire blir 432°, som allerede er for mye. Hvordan du regner ut arealet av en regulær mangekant, finner du i artikkelen areal av en regulær n-kant.

De ytre vinklene er til sammen 360°

En ytre vinkel oppstår når vi forlenger en side av mangekanten forbi et hjørne. Det er vinkelen mellom forlengelsen og den neste siden. Tenk deg at du går rundt omkretsen av en femkant. I hvert hjørne svinger du akkurat like mye som den ytre vinkelen. Når du kommer tilbake til start, ser du i samme retning som i begynnelsen, så du har snudd deg én gang rundt, 360°.

Skiven til høyre viser hvor mye pilen til sammen allerede har snudd seg.

Det samme får vi også ved regning. Den indre og den ytre vinkelen i ett hjørne er nabovinkler, altså er de til sammen 180°. Med n hjørner blir det til sammen n · 180°. Av dette går (n − 2) · 180° til de indre vinklene, og til de ytre er det igjen

$$n\cdot {180}^{\circ }-(n-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Antall hjørner spiller ingen rolle. Summen av de ytre vinklene i en konveks mangekant er alltid 360°, enten det er en trekant eller en hundrekant.

Se også

• Trekant
• Areal av en regulær n-kant
• Vinkel
• Kongruens av trekanter