Somme des angles d’un polygone

Quand on additionne les angles intérieurs d’un triangle quelconque, on obtient toujours 180°. Peu importe que ses angles soient tous aigus, qu’il ait un angle obtus ou qu’il soit minuscule comme un timbre. Et pour un quadrilatère, un pentagone ou un hexagone ? Combien valent leurs angles ensemble ?

Découpons-le en triangles

Prenons un pentagone ABCDE et, depuis le sommet A, traçons des diagonales vers tous les sommets auxquels il n’est pas encore relié par un côté. Ce sont les diagonales [AC] et [AD]. Elles découpent le pentagone en trois triangles :

Regarde les angles colorés. Chaque angle d’un triangle se trouve à un sommet du pentagone, et ensemble ils remplissent tous les angles intérieurs du pentagone : rien ne dépasse et rien ne manque. Au sommet A se rejoignent les angles des trois triangles, en C et en D seulement ceux de deux triangles. Le pentagone a donc la même somme d’angles que trois triangles réunis, 3 · 180°.

Cela se passe exactement de la même façon pour tout polygone convexe. D’un sommet partent des diagonales vers tous les autres sommets, sauf les deux sommets voisins, et un polygone à n côtés se découpe ainsi en n − 2 triangles. La somme des angles intérieurs d’un polygone à n côtés est donc

$$(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

La formule est valable aussi pour les polygones non convexes, c’est-à-dire ceux qui ont un angle intérieur supérieur à 180°. On peut aussi les découper en triangles, mais les diagonales ne partent pas forcément toutes du même sommet.

Un quadrilatère a quatre sommets, on prend donc n = 4 :

$$(4-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Cela fonctionne aussi pour le carré : ses quatre angles droits font ensemble exactement 4 · 90° = 360°.

Pour un pentagone, n = 5 :

$$(5-2)\cdot {180}^{\circ }=3\cdot {180}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Et pour un hexagone, donc n = 6 :

$$(6-2)\cdot {180}^{\circ }=4\cdot {180}^{\circ }={720}^{\circ }$$

À chaque sommet supplémentaire, un triangle s’ajoute et la somme des angles augmente de 180°.

Pourquoi pas n triangles ?

On peut aussi découper un polygone autrement. Choisissons un point O à l’intérieur et relions-le à tous les sommets. Le pentagone se découpe alors en cinq triangles. La conclusion tentante est que la somme des angles vaut 5 · 180°. Mais c’est une erreur.

Les angles des triangles au point O n’appartiennent pas aux angles intérieurs du pentagone. Ensemble, ils forment un angle plein de 360°, qu’il faut soustraire :

$$5\cdot {180}^{\circ }-{360}^{\circ }={900}^{\circ }-{360}^{\circ }={540}^{\circ }$$

On trouve la même chose qu’avant. Et on obtient le même résultat pour tout polygone convexe à n côtés, car 360° = 2 · 180° :

$$n\cdot {180}^{\circ }-2\cdot {180}^{\circ }=(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Polygone régulier

Dans un polygone régulier, tous les côtés ont la même longueur et tous les angles la même mesure. On obtient un angle en divisant la somme de tous les angles par leur nombre n :

$$\frac{(n-2)\cdot {180}^{\circ }}{n}$$

Les angles d’un pentagone régulier mesurent 540°:5 = 108°, pour un hexagone régulier on a 720°:6 = 120°.

Les abeilles construisent des hexagones réguliers. Le rayon de miel est composé d’hexagones sans le moindre espace, car à chaque sommet se rejoignent trois hexagones et leurs angles font ensemble

$$3\cdot {120}^{\circ }={360}^{\circ },$$

donc exactement un angle plein.

Avec des pentagones réguliers, ce ne serait pas possible : trois angles de 108° font 324°, il resterait donc un espace, et quatre font 432°, ce qui est déjà trop. Pour savoir comment calculer l’aire d’un polygone régulier, tu trouveras la réponse dans l’article aire d’un polygone régulier à n côtés.

La somme des angles extérieurs vaut 360°

Un angle extérieur se forme quand on prolonge un côté du polygone au-delà d’un sommet. C’est l’angle entre le prolongement et le côté suivant. Imagine que tu fais le tour d’un pentagone en suivant son contour. À chaque sommet, tu tournes exactement d’un angle extérieur. Quand tu reviens au départ, tu regardes dans la même direction qu’au début, donc tu as fait un tour complet, de 360°.

Le cadran à droite indique de combien la flèche a déjà tourné au total.

On obtient la même chose par le calcul. L’angle intérieur et l’angle extérieur en un même sommet sont supplémentaires, ils font donc ensemble 180°. Pour n sommets, cela fait en tout n · 180°. De cela, (n − 2) · 180° reviennent aux angles intérieurs, et il reste pour les angles extérieurs

$$n\cdot {180}^{\circ }-(n-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Le nombre de sommets n’a pas d’importance. La somme des angles extérieurs d’un polygone convexe vaut toujours 360°, qu’il s’agisse d’un triangle ou d’un polygone à cent côtés.

Voir aussi

• Triangle
• Aire d’un polygone régulier à n côtés
• Angle
• Égalité des triangles