Сума кутів многокутника

Якщо додати внутрішні кути будь-якого трикутника, завжди отримаємо 180°. Байдуже, чи він гострокутний, чи тупокутний, чи крихітний, як поштова марка на листі. А як із чотирикутником, п'ятикутником чи шестикутником? Скільки дають разом їхні кути?

Розділимо його на трикутники

Візьмімо п'ятикутник ABCDE і з вершини A проведімо діагоналі до всіх вершин, з якими вона ще не з'єднана стороною. Це діагоналі AC і AD. Вони розбивають п'ятикутник на три трикутники:

Придивися до кольорових кутів. Кожен кут трикутника лежить при якійсь вершині п'ятикутника, і разом вони заповнюють усі внутрішні кути п'ятикутника: ніщо не зайве й нічого не бракує. При вершині A сходяться кути всіх трьох трикутників, при C і D лише двох. Отже, сума кутів п'ятикутника така сама, як сума кутів трьох трикутників разом, 3 · 180°.

Точно так само виходить у кожного опуклого многокутника. З однієї вершини діагоналі йдуть до всіх інших вершин, крім двох сусідніх, і тому n-кутник розпадається на n − 2 трикутники. Сума внутрішніх кутів n-кутника, отже, дорівнює

$$(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Формула справджується і для неопуклих многокутників, тобто таких, у яких якийсь внутрішній кут більший за 180°. Їх теж можна розділити на трикутники, тільки діагоналі не обов'язково виходять усі з однієї вершини.

Чотирикутник має чотири вершини, підставляємо n = 4:

$$(4-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Це справджується й для квадрата: його чотири прямі кути дають разом рівно 4 · 90° = 360°.

У п'ятикутника n = 5:

$$(5-2)\cdot {180}^{\circ }=3\cdot {180}^{\circ }={540}^{\circ }$$

А шестикутник, тобто n = 6:

$$(6-2)\cdot {180}^{\circ }=4\cdot {180}^{\circ }={720}^{\circ }$$

З кожною наступною вершиною додається один трикутник, і сума кутів зростає на 180°.

Чому не n трикутників?

Многокутник можна розрізати й інакше. Оберемо всередині точку S і з'єднаємо її з усіма вершинами. П'ятикутник так розпадеться на п'ять трикутників. Спокусливий висновок: сума кутів дорівнює 5 · 180°. Та це помилка.

Кути трикутників при точці S до внутрішніх кутів п'ятикутника не належать. Разом вони утворюють повний кут 360°, і його треба відняти:

$$5\cdot {180}^{\circ }-{360}^{\circ }={900}^{\circ }-{360}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Вийшло те саме, що й раніше. І такий самий результат ми отримаємо в кожного опуклого n-кутника, бо 360° = 2 · 180°:

$$n\cdot {180}^{\circ }-2\cdot {180}^{\circ }=(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Правильний многокутник

У правильного многокутника всі сторони однакової довжини й усі кути однакової величини. Один кут отримаємо, якщо суму всіх кутів поділимо на їхню кількість n:

$$\frac{(n-2)\cdot {180}^{\circ }}{n}$$

Кути правильного п'ятикутника дорівнюють 540°:5 = 108°, у правильного шестикутника це 720°:6 = 120°.

Правильні шестикутники будують бджоли. Стільник складений із них без жодної шпарини, бо в кожній вершині сходяться три шестикутники, і їхні кути дають разом

$$3\cdot {120}^{\circ }={360}^{\circ },$$

тобто саме повний кут.

З правильними п'ятикутниками так не вийшло б: три кути по 108° дають 324°, тож лишилася б шпарина, а чотири дають 432°, а це вже забагато. Як обчислити площу правильного многокутника, дізнаєшся зі статті площа правильного n-кутника.

Зовнішні кути дають разом 360°

Зовнішній кут утворюється, коли сторону многокутника продовжити за вершину. Це кут між продовженням і наступною стороною. Уяви, що ти обходиш п'ятикутник по периметру. У кожній вершині ти повертаєш саме на зовнішній кут. Коли повернешся на старт, дивитимешся в той самий бік, що й на початку, тож загалом це один оберт, на 360°.

Циферблат праворуч показує, на скільки стрілка вже загалом повернулася.

Те саме виходить і обчисленням. Внутрішній і зовнішній кут при одній вершині суміжні, тож разом дають 180°. У n вершин це загалом n · 180°. З цього (n − 2) · 180° припадає на внутрішні кути, а на зовнішні залишається

$$n\cdot {180}^{\circ }-(n-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Від кількості вершин це не залежить. Сума зовнішніх кутів опуклого многокутника завжди дорівнює 360°, чи це трикутник, чи стокутник.

Дивись також

• Трикутник
• Площа правильного n-кутника
• Кут
• Рівність трикутників