Vinkelsummen i en mangekant
Hvis vi lægger de indre vinkler i en vilkårlig trekant sammen, får vi altid 180°. Det gør ikke noget, om den er spidsvinklet, stumpvinklet eller lille som et frimærke. Og hvordan er det med en firkant, en femkant eller en sekskant? Hvor meget giver deres vinkler tilsammen?
Vi deler den op i trekanter
Vi tager femkanten ABCDE og tegner fra hjørnet A diagonaler til alle hjørner, som det endnu ikke er forbundet med en side. Det er diagonalerne AC og AD. Femkanten deles dermed i tre trekanter:
Se på de farvede vinkler. Hver vinkel i en trekant ligger i et af femkantens hjørner, og tilsammen fylder de alle femkantens indre vinkler ud, der er hverken noget til overs eller noget, der mangler. I hjørnet A mødes vinklerne fra alle tre trekanter, i C og D kun fra to. Femkanten har derfor samme vinkelsum som tre trekanter tilsammen, 3 · 180°.
Det går helt på samme måde med enhver konveks mangekant. Fra ét hjørne går der diagonaler til alle andre hjørner undtagen de to nabohjørner, og en n-kant deles dermed i n − 2 trekanter. Summen af de indre vinkler i en n-kant er derfor
Formlen gælder også for ikke-konvekse mangekanter, altså sådanne, hvor en indre vinkel er større end 180°. De kan også deles i trekanter, men diagonalerne behøver ikke alle at udgå fra ét hjørne.
En firkant har fire hjørner, vi indsætter n = 4:
Det passer også for et kvadrat: dets fire rette vinkler giver tilsammen netop 4 · 90° = 360°.
For en femkant er n = 5:
Og en sekskant, altså n = 6:
For hvert yderligere hjørne kommer der én trekant til, og vinkelsummen vokser med 180°.
Hvorfor ikke n trekanter?
En mangekant kan også deles op på en anden måde. Vi vælger et punkt P inde i den og forbinder det med alle hjørner. Femkanten deles dermed i fem trekanter. Den fristende konklusion lyder, at vinkelsummen er 5 · 180°. Men det er en fejl.
Trekanternes vinkler ved punktet P hører ikke med blandt femkantens indre vinkler. Tilsammen danner de en fuld vinkel på 360°, og den skal vi trække fra:
Vi fik det samme som før. Og det samme resultat får vi for enhver konveks n-kant, fordi 360° = 2 · 180°:
Regulær mangekant
I en regulær mangekant er alle sider lige lange og alle vinkler lige store. Én vinkel får vi ved at dividere summen af alle vinkler med deres antal n:
Vinklerne i en regulær femkant er 540°:5 = 108°, i en regulær sekskant er de 720°:6 = 120°.
Regulære sekskanter bygger bierne. Vokskagen er sat sammen af dem uden et eneste mellemrum, fordi der i hvert hjørne mødes tre sekskanter, og deres vinkler giver tilsammen
altså netop en fuld vinkel.
Med regulære femkanter ville det ikke gå: tre vinkler på 108° giver 324°, så der ville blive et mellemrum, og fire giver 432°, hvilket er for meget. Hvordan du udregner arealet af en regulær mangekant, kan du læse i artiklen areal af en regulær n-kant.
De ydre vinkler giver tilsammen 360°
En ydre vinkel opstår, når vi forlænger en side af mangekanten forbi hjørnet. Det er vinklen mellem forlængelsen og den næste side. Forestil dig, at du går rundt langs omkredsen af en femkant. I hvert hjørne drejer du netop den ydre vinkel. Når du kommer tilbage til start, kigger du i samme retning som i begyndelsen, så du har drejet én gang rundt, 360°.
Urskiven til højre viser, hvor meget pilen allerede har drejet i alt.
Det samme får vi ved regning. Den indre og den ydre vinkel i ét hjørne er nabovinkler, tilsammen altså 180°. For n hjørner er det i alt n · 180°. Heraf går (n − 2) · 180° til de indre vinkler, og til de ydre er der tilbage
Antallet af hjørner er ligegyldigt. Summen af de ydre vinkler i en konveks mangekant er altid 360°, uanset om det er en trekant eller en hundredekant.
Se også
Kapitler: Vinkel, Sådan konstruerer du en vinkelhalveringslinje, Afsætning af en vinkel, Buemål for vinkler, Orienteret vinkel, Vinkelsummen i en mangekant, Omregning af stigning til vinkel
