Suma unghiurilor unui poligon

Dacă adunăm unghiurile interioare ale oricărui triunghi, obținem întotdeauna 180°. Nu contează dacă este ascuțitunghic, obtuzunghic sau mic cât un timbru poștal. Dar cum stau lucrurile la un patrulater, la un pentagon sau la un hexagon? Cât dau unghiurile lor la un loc?

Îl împărțim în triunghiuri

Luăm pentagonul ABCDE și din vârful A ducem diagonale către toate vârfurile cu care nu este încă unit printr-o latură. Sunt diagonalele AC și AD. Cu ele, pentagonul se descompune în trei triunghiuri:

Privește unghiurile colorate. Fiecare unghi al unui triunghi se află într-un vârf al pentagonului și, la un loc, ele acoperă toate unghiurile interioare ale pentagonului: nimic nu rămâne în plus și nimic nu lipsește. În vârful A se întâlnesc unghiurile tuturor celor trei triunghiuri, în C și în D doar ale două. Pentagonul are deci aceeași sumă a unghiurilor ca trei triunghiuri la un loc, 3 · 180°.

Exact la fel se întâmplă la orice poligon convex. Dintr-un vârf pornesc diagonale către toate celelalte vârfuri, în afară de cele două vecine, și astfel un poligon cu n laturi se descompune în n − 2 triunghiuri. Suma unghiurilor interioare ale unui poligon cu n laturi este așadar

$$(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Formula este valabilă și pentru poligoanele concave, adică cele care au vreun unghi interior mai mare de 180°. Și ele se pot împărți în triunghiuri, doar că diagonalele nu pornesc neapărat toate din același vârf.

Patrulaterul are patru vârfuri, înlocuim n = 4:

$$(4-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Se potrivește și la pătrat: cele patru unghiuri drepte ale sale dau împreună exact 4 · 90° = 360°.

La pentagon avem n = 5:

$$(5-2)\cdot {180}^{\circ }=3\cdot {180}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Iar hexagonul, adică n = 6:

$$(6-2)\cdot {180}^{\circ }=4\cdot {180}^{\circ }={720}^{\circ }$$

Cu fiecare vârf în plus apare încă un triunghi, iar suma unghiurilor crește cu 180°.

De ce nu n triunghiuri?

Un poligon se poate tăia și altfel. Alegem un punct S în interior și îl unim cu toate vârfurile. Pentagonul se descompune astfel în cinci triunghiuri. Concluzia tentantă este că suma unghiurilor este 5 · 180°. Dar aceasta este o greșeală.

Unghiurile triunghiurilor din punctul S nu fac parte dintre unghiurile interioare ale pentagonului. Împreună formează un unghi plin de 360°, iar pe acesta trebuie să îl scădem:

$$5\cdot {180}^{\circ }-{360}^{\circ }={900}^{\circ }-{360}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Am obținut același rezultat ca înainte. Și același rezultat obținem la orice poligon convex cu n laturi, deoarece 360° = 2 · 180°:

$$n\cdot {180}^{\circ }-2\cdot {180}^{\circ }=(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Poligonul regulat

La un poligon regulat toate laturile sunt egale și toate unghiurile au aceeași măsură. Un unghi îl obținem împărțind suma tuturor unghiurilor la numărul lor n:

$$\frac{(n-2)\cdot {180}^{\circ }}{n}$$

Unghiurile unui pentagon regulat măsoară 540°:5 = 108°, iar la un hexagon regulat avem 720°:6 = 120°.

Hexagoane regulate construiesc albinele. Fagurele este alcătuit din ele fără niciun gol, deoarece în fiecare vârf se întâlnesc trei hexagoane, iar unghiurile lor dau împreună

$$3\cdot {120}^{\circ }={360}^{\circ },$$

adică exact un unghi plin.

Cu pentagoane regulate nu ar merge: trei unghiuri de câte 108° dau 324°, deci ar rămâne un gol, iar patru dau 432°, ceea ce este deja prea mult. Cum se calculează aria unui poligon regulat găsești în articolul aria unui poligon regulat.

Unghiurile exterioare dau împreună 360°

Unghiul exterior apare atunci când prelungim o latură a poligonului dincolo de vârf. Este unghiul dintre prelungire și latura următoare. Închipuie-ți că ocolești pentagonul pe contur. În fiecare vârf cotești exact cu unghiul exterior. Când ajungi înapoi la start, te uiți în aceeași direcție ca la început, deci te-ai rotit o dată în jurul tău, cu 360°.

Cadranul din dreapta arată cu cât s-a rotit deja săgeata în total.

Același rezultat se obține și prin calcul. Unghiul interior și cel exterior dintr-un vârf sunt adiacente suplementare, deci dau împreună 180°. La n vârfuri avem în total n · 180°. Din această sumă, (n − 2) · 180° revine unghiurilor interioare, iar pentru cele exterioare rămâne

$$n\cdot {180}^{\circ }-(n-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Numărul vârfurilor nu contează. Suma unghiurilor exterioare ale unui poligon convex este întotdeauna 360°, fie că este vorba de un triunghi, fie de un poligon cu o sută de laturi.

Vezi și

• Triunghiul
• Aria unui poligon regulat
• Unghiul
• Congruența triunghiurilor