Vinkelsumman i en månghörning

Om vi adderar de inre vinklarna i en godtycklig triangel får vi alltid 180°. Det spelar ingen roll om den är spetsvinklig, trubbvinklig eller liten som ett frimärke. Men hur är det med en fyrhörning, femhörning eller sexhörning? Hur stor blir summan av deras vinklar?

Vi delar upp den i trianglar

Vi tar femhörningen ABCDE och drar från hörnet A diagonaler till alla hörn som ännu inte är förbundna med det genom en sida. Det är diagonalerna AC och AD. De delar upp femhörningen i tre trianglar:

Titta på de färgade vinklarna. Varje vinkel i trianglarna ligger i något av femhörningens hörn, och tillsammans fyller de ut alla femhörningens inre vinklar, ingenting blir över och ingenting saknas. Vid hörnet A möts vinklarna från alla tre trianglarna, vid C och D bara från två. Femhörningen har alltså samma vinkelsumma som tre trianglar tillsammans, 3 · 180°.

Precis likadant blir det för varje konvex månghörning. Från ett hörn går diagonaler till alla andra hörn utom de två grannhörnen, och en n-hörning delas därmed upp i n − 2 trianglar. Summan av de inre vinklarna i en n-hörning är alltså

$$(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Formeln gäller också för icke-konvexa månghörningar, alltså sådana som har någon inre vinkel större än 180°. De går också att dela upp i trianglar, men diagonalerna behöver inte alla utgå från ett hörn.

Fyrhörningen har fyra hörn, vi sätter in n = 4:

$$(4-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Det stämmer också för en kvadrat: dess fyra räta vinklar blir tillsammans precis 4 · 90° = 360°.

För femhörningen är n = 5:

$$(5-2)\cdot {180}^{\circ }=3\cdot {180}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Och sexhörningen, alltså n = 6:

$$(6-2)\cdot {180}^{\circ }=4\cdot {180}^{\circ }={720}^{\circ }$$

För varje nytt hörn tillkommer en triangel och vinkelsumman ökar med 180°.

Varför inte n trianglar?

En månghörning kan också delas upp på andra sätt. Vi väljer en punkt S inuti och förbinder den med alla hörn. Femhörningen delas då upp i fem trianglar. Den lockande slutsatsen är att vinkelsumman är 5 · 180°. Men det är fel.

Trianglarnas vinklar vid punkten S hör inte till femhörningens inre vinklar. Tillsammans bildar de en full vinkel på 360°, och den måste vi dra bort:

$$5\cdot {180}^{\circ }-{360}^{\circ }={900}^{\circ }-{360}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Det blev samma som förut. Och samma resultat får vi för varje konvex n-hörning, eftersom 360° = 2 · 180°:

$$n\cdot {180}^{\circ }-2\cdot {180}^{\circ }=(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Regelbunden månghörning

I en regelbunden månghörning är alla sidor lika långa och alla vinklar lika stora. En vinkel får vi genom att dividera summan av alla vinklar med deras antal n:

$$\frac{(n-2)\cdot {180}^{\circ }}{n}$$

Vinklarna i en regelbunden femhörning är 540°:5 = 108°, i en regelbunden sexhörning är de 720°:6 = 120°.

Regelbundna sexhörningar bygger bin. Vaxkakan är sammansatt av dem utan en enda lucka, eftersom det vid varje hörn möts tre sexhörningar och deras vinklar tillsammans blir

$$3\cdot {120}^{\circ }={360}^{\circ },$$

alltså precis en full vinkel.

Med regelbundna femhörningar skulle det inte gå: tre vinklar på 108° blir 324°, så det skulle bli en lucka, och fyra blir 432°, vilket redan är för mycket. Hur du räknar ut arean av en regelbunden månghörning hittar du i artikeln area av en regelbunden n-hörning.

Yttervinklarna blir tillsammans 360°

En yttervinkel uppstår när vi förlänger en sida av månghörningen förbi ett hörn. Det är vinkeln mellan förlängningen och nästa sida. Tänk dig att du går runt en femhörning längs omkretsen. I varje hörn svänger du precis lika mycket som yttervinkeln. När du kommer tillbaka till start tittar du åt samma håll som i början, så du har vänt dig ett helt varv, 360°.

Urtavlan till höger visar hur mycket pilen hittills har vridit sig sammanlagt.

Samma sak får vi också genom räkning. Den inre och den yttre vinkeln vid ett hörn är sidovinklar, alltså tillsammans 180°. Med n hörn blir det sammanlagt n · 180°. Av det går (n − 2) · 180° till de inre vinklarna, och till de yttre blir det över

$$n\cdot {180}^{\circ }-(n-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Antalet hörn spelar ingen roll. Summan av yttervinklarna i en konvex månghörning är alltid 360°, vare sig det är en triangel eller en hundrahörning.

Se även

• Triangel
• Area av en regelbunden n-hörning
• Vinkel
• Kongruenta trianglar