Suma de los ángulos de un polígono

Si sumamos los ángulos interiores de cualquier triángulo, siempre obtenemos 180°. Da igual que sea acutángulo, obtusángulo o tan pequeño como un sello. ¿Y qué pasa con un cuadrilátero, un pentágono o un hexágono? ¿Cuánto suman sus ángulos?

Lo dividimos en triángulos

Tomamos el pentágono ABCDE y desde el vértice A trazamos diagonales a todos los vértices con los que aún no está unido por un lado. Son las diagonales AC y AD. Con ellas, el pentágono se descompone en tres triángulos:

Fíjate en los ángulos de colores. Cada ángulo de un triángulo está en algún vértice del pentágono, y juntos llenan todos los ángulos interiores del pentágono: no sobra ni falta nada. En el vértice A se juntan los ángulos de los tres triángulos y en C y D solo los de dos. Por tanto, el pentágono tiene la misma suma de ángulos que los tres triángulos juntos, 3 · 180°.

Exactamente igual ocurre en todo polígono convexo. Desde un vértice salen diagonales a todos los demás vértices excepto los dos contiguos, y así un polígono de n lados se descompone en n − 2 triángulos. La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es, por tanto,

$$(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

La fórmula vale también para los polígonos cóncavos, es decir, los que tienen algún ángulo interior mayor que 180°. También se pueden dividir en triángulos, solo que las diagonales no tienen por qué salir todas de un mismo vértice.

El cuadrilátero tiene cuatro vértices, así que sustituimos n = 4:

$$(4-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Cuadra también con el cuadrado: sus cuatro ángulos rectos suman justo 4 · 90° = 360°.

En el pentágono es n = 5:

$$(5-2)\cdot {180}^{\circ }=3\cdot {180}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Y el hexágono, es decir, n = 6:

$$(6-2)\cdot {180}^{\circ }=4\cdot {180}^{\circ }={720}^{\circ }$$

Con cada vértice más se añade un triángulo y la suma de los ángulos aumenta en 180°.

¿Por qué no n triángulos?

Un polígono se puede cortar también de otra manera. Elegimos un punto S en el interior y lo unimos con todos los vértices. El pentágono se descompone así en cinco triángulos. La conclusión tentadora es que la suma de los ángulos es 5 · 180°. Pero es un error.

Los ángulos de los triángulos en el punto S no pertenecen a los ángulos interiores del pentágono. Juntos forman un ángulo completo de 360°, y ese hay que restarlo:

$$5\cdot {180}^{\circ }-{360}^{\circ }={900}^{\circ }-{360}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Ha salido lo mismo que antes. Y obtenemos el mismo resultado en todo polígono convexo de n lados, porque 360° = 2 · 180°:

$$n\cdot {180}^{\circ }-2\cdot {180}^{\circ }=(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Polígono regular

En un polígono regular todos los lados miden lo mismo y todos los ángulos tienen la misma amplitud. Para obtener un ángulo dividimos la suma de todos los ángulos entre su número n:

$$\frac{(n-2)\cdot {180}^{\circ }}{n}$$

Los ángulos de un pentágono regular miden 540°:5 = 108°, y en un hexágono regular son 720°:6 = 120°.

Las abejas construyen hexágonos regulares. El panal está hecho con ellos sin un solo hueco, porque en cada vértice se juntan tres hexágonos y sus ángulos suman

$$3\cdot {120}^{\circ }={360}^{\circ },$$

es decir, justo un ángulo completo.

Con pentágonos regulares no se podría: tres ángulos de 108° suman 324°, así que quedaría un hueco, y cuatro suman 432°, que ya es demasiado. Cómo calcular el área de un polígono regular lo encontrarás en el artículo área de un polígono regular.

Los ángulos exteriores suman 360°

Un ángulo exterior se forma al prolongar un lado del polígono más allá de un vértice. Es el ángulo entre la prolongación y el lado siguiente. Imagina que recorres el pentágono por su contorno. En cada vértice giras exactamente un ángulo exterior. Cuando vuelves al punto de partida, miras en la misma dirección que al principio, así que has dado una vuelta completa, de 360°.

La esfera del reloj de la derecha muestra cuánto ha girado ya la flecha en total.

Lo mismo sale también haciendo cuentas. El ángulo interior y el exterior de un mismo vértice son adyacentes, así que suman 180°. Con n vértices, eso da en total n · 180°. De ahí, (n − 2) · 180° corresponde a los ángulos interiores y a los exteriores les queda

$$n\cdot {180}^{\circ }-(n-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

El número de vértices no importa. La suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo es siempre 360°, ya sea un triángulo o un polígono de cien lados.

Véase también

• Triángulo
• Área de un polígono regular
• Ángulo
• Igualdad de triángulos