✖

Som van de hoeken van een veelhoek

Als we de binnenhoeken van een willekeurige driehoek optellen, krijgen we altijd 180°. Het maakt niet uit of hij scherphoekig of stomphoekig is, of zo klein als een postzegel. En hoe zit het bij een vierhoek, vijfhoek of zeshoek? Hoeveel zijn hun hoeken samen?

We verdelen hem in driehoeken

We nemen vijfhoek ABCDE en trekken vanuit hoekpunt A diagonalen naar alle hoekpunten waarmee het nog niet door een zijde is verbonden. Dat zijn de diagonalen AC en AD. De vijfhoek valt daardoor uiteen in drie driehoeken:

De diagonalen vanuit hoekpunt A verdelen de vijfhoek in drie driehoeken

Kijk naar de gekleurde hoeken. Elke hoek van een driehoek ligt in een hoekpunt van de vijfhoek en samen vullen ze alle binnenhoeken van de vijfhoek op, er blijft niets over en er ontbreekt niets. Bij hoekpunt A komen de hoeken van alle drie de driehoeken samen, bij C en D maar van twee. De vijfhoek heeft dus dezelfde hoekensom als drie driehoeken samen, 3 · 180°.

Precies hetzelfde gebeurt bij elke convexe veelhoek. Vanuit één hoekpunt lopen diagonalen naar alle andere hoekpunten behalve de twee naburige, en een n-hoek valt zo uiteen in n − 2 driehoeken. De som van de binnenhoeken van een n-hoek is dus

(n−2)⋅180∘

De formule geldt ook voor niet-convexe veelhoeken, dus voor veelhoeken met een binnenhoek groter dan 180°. Die kunnen we ook in driehoeken verdelen, alleen hoeven de diagonalen dan niet allemaal vanuit één hoekpunt te vertrekken.

Een vierhoek heeft vier hoekpunten, we vullen n = 4 in:

(4−2)⋅180∘=2⋅180∘=360∘

Dat klopt ook bij een vierkant: zijn vier rechte hoeken zijn samen precies 4 · 90° = 360°.

Bij een vijfhoek is n = 5:

(5−2)⋅180∘=3⋅180∘=540∘

En een zeshoek, dus n = 6:

(6−2)⋅180∘=4⋅180∘=720∘

Met elk extra hoekpunt komt er één driehoek bij en neemt de hoekensom met 180° toe.

Waarom niet n driehoeken?

Een veelhoek kun je ook op een andere manier opknippen. We kiezen binnenin een punt P en verbinden dat met alle hoekpunten. De vijfhoek valt zo uiteen in vijf driehoeken. De verleidelijke conclusie luidt dat de hoekensom 5 · 180° is. Maar dat is een fout.

Een vijfhoek vanuit punt P verdeeld in vijf driehoeken, rond P een volle hoek

De hoeken van de driehoeken bij punt P horen niet bij de binnenhoeken van de vijfhoek. Samen vormen ze een volle hoek van 360° en die moeten we aftrekken:

5⋅180∘−360∘=900∘−360∘=540∘

Er komt hetzelfde uit als eerder. En hetzelfde resultaat krijgen we bij elke convexe n-hoek, omdat 360° = 2 · 180°:

n⋅180∘−2⋅180∘=(n−2)⋅180∘

Regelmatige veelhoek

Bij een regelmatige veelhoek zijn alle zijden even lang en alle hoeken even groot. Eén hoek krijgen we door de som van alle hoeken te delen door hun aantal n:

(n−2)⋅180∘n

De hoeken van een regelmatige vijfhoek zijn 540°:5 = 108° groot, bij een regelmatige zeshoek is het 720°:6 = 120°.

Bijen bouwen regelmatige zeshoeken. Een honingraat is daaruit opgebouwd zonder ook maar één opening, omdat bij elk hoekpunt drie zeshoeken samenkomen en hun hoeken samen

3⋅120∘=360∘

zijn, dus precies een volle hoek.

Drie zeshoeken komen bij een hoekpunt samen tot een volle hoek

Met regelmatige vijfhoeken zou dat niet lukken: drie hoeken van 108° geven 324°, dus er zou een opening overblijven, en vier geven 432°, en dat is al te veel. Hoe je de oppervlakte van een regelmatige veelhoek berekent, vind je in het artikel oppervlakte van een regelmatige n-hoek.

De buitenhoeken zijn samen 360°

Een buitenhoek ontstaat als we een zijde van de veelhoek voorbij een hoekpunt verlengen. Het is de hoek tussen de verlenging en de volgende zijde. Stel je voor dat je langs de rand om een vijfhoek heen loopt. In elk hoekpunt draai je precies een buitenhoek. Als je weer bij de start aankomt, kijk je in dezelfde richting als in het begin, dus je bent één keer helemaal rondgedraaid, over 360°.

Een pijl gaat om de vijfhoek heen en draait in elk hoekpunt over een buitenhoek, samen over een volle hoek

De wijzerplaat rechts laat zien hoeveel de pijl al in totaal is gedraaid.

Hetzelfde komt er ook door rekenen uit. De binnen- en buitenhoek bij één hoekpunt zijn nevenhoeken, samen dus 180°. Bij n hoekpunten is dat in totaal n · 180°. Daarvan gaat (n − 2) · 180° naar de binnenhoeken en voor de buitenhoeken blijft over

n⋅180∘−(n−2)⋅180∘=2⋅180∘=360∘

Het aantal hoekpunten maakt niet uit. De som van de buitenhoeken van een convexe veelhoek is altijd 360°, of het nu om een driehoek of een honderdhoek gaat.

Zie ook

Hoofdstukken: Hoek, Hoe construeer je de bissectrice van een hoek, Een hoek overbrengen, Radialen, Georiënteerde hoek, Som van de hoeken van een veelhoek, Stijging omrekenen naar een hoek