Somma degli angoli di un poligono
Se sommiamo gli angoli interni di un qualsiasi triangolo, otteniamo sempre 180°. Non importa se è acutangolo, ottusangolo o piccolo come un francobollo. E per un quadrilatero, un pentagono o un esagono? Quanto fanno in tutto i loro angoli?
Lo dividiamo in triangoli
Prendiamo il pentagono ABCDE e dal vertice A tracciamo le diagonali verso tutti i vertici a cui non è ancora unito da un lato. Sono le diagonali AC e AD. Con esse il pentagono si scompone in tre triangoli:
Guarda gli angoli colorati. Ogni angolo di un triangolo sta in un vertice del pentagono e insieme riempiono tutti gli angoli interni del pentagono: non avanza nulla e non manca nulla. Nel vertice A si incontrano gli angoli di tutti e tre i triangoli, in C e D solo quelli di due. Il pentagono ha quindi la stessa somma degli angoli di tre triangoli messi insieme, 3 · 180°.
Lo stesso accade in ogni poligono convesso. Da un vertice partono le diagonali verso tutti gli altri vertici tranne i due adiacenti, e così un poligono di n lati si scompone in n − 2 triangoli. La somma degli angoli interni di un poligono di n lati è quindi
La formula vale anche per i poligoni concavi, cioè quelli che hanno qualche angolo interno maggiore di 180°. Anch’essi si possono dividere in triangoli, solo che le diagonali non partono necessariamente tutte da uno stesso vertice.
Il quadrilatero ha quattro vertici, quindi poniamo n = 4:
Torna anche con il quadrato: i suoi quattro angoli retti fanno in tutto proprio 4 · 90° = 360°.
Per il pentagono è n = 5:
E l’esagono, cioè n = 6:
Con ogni vertice in più si aggiunge un triangolo e la somma degli angoli aumenta di 180°.
Perché non n triangoli?
Un poligono si può tagliare anche in un altro modo. Scegliamo un punto S all’interno e lo uniamo con tutti i vertici. Il pentagono si scompone così in cinque triangoli. La conclusione allettante è che la somma degli angoli sia 5 · 180°. Ma è un errore.
Gli angoli dei triangoli nel punto S non fanno parte degli angoli interni del pentagono. Insieme formano un angolo giro di 360° e questo dobbiamo sottrarlo:
È venuto lo stesso risultato di prima. E lo stesso risultato otteniamo in ogni poligono convesso di n lati, perché 360° = 2 · 180°:
Poligono regolare
In un poligono regolare tutti i lati sono uguali e tutti gli angoli hanno la stessa ampiezza. Per ottenere un angolo dividiamo la somma di tutti gli angoli per il loro numero n:
Gli angoli di un pentagono regolare misurano 540°:5 = 108°, in un esagono regolare sono 720°:6 = 120°.
Le api costruiscono esagoni regolari. Il favo è fatto di esagoni incastrati senza il minimo spazio vuoto, perché in ogni vertice si incontrano tre esagoni e i loro angoli fanno in tutto
cioè proprio un angolo giro.
Con i pentagoni regolari non funzionerebbe: tre angoli da 108° fanno 324°, quindi resterebbe uno spazio vuoto, e quattro fanno 432°, che è già troppo. Come calcolare l’area di un poligono regolare lo trovi nell’articolo area di un poligono regolare.
Gli angoli esterni fanno in tutto 360°
Un angolo esterno si forma quando prolunghiamo un lato del poligono oltre un vertice. È l’angolo tra il prolungamento e il lato successivo. Immagina di percorrere il contorno del pentagono. In ogni vertice giri esattamente di un angolo esterno. Quando torni al punto di partenza, guardi nella stessa direzione dell’inizio, quindi hai fatto un giro completo, di 360°.
Il quadrante a destra mostra di quanto la freccia ha già ruotato in totale.
Lo stesso risultato viene anche con il calcolo. L’angolo interno e quello esterno in uno stesso vertice sono adiacenti, quindi fanno in tutto 180°. Con n vertici fa in totale n · 180°. Di questi, (n − 2) · 180° spettano agli angoli interni e agli esterni resta
Il numero dei vertici non conta. La somma degli angoli esterni di un poligono convesso è sempre 360°, che si tratti di un triangolo o di un poligono di cento lati.
Vedi anche
Capitoli: Angolo, Come costruire la bisettrice di un angolo, Trasporto di un angolo, Misura in radianti di un angolo, Angolo orientato, Somma degli angoli di un poligono, Dalla pendenza all’angolo
