Soma dos ângulos de um polígono
Se somarmos os ângulos internos de um triângulo qualquer, obtemos sempre 180°. Não importa se ele é acutângulo, obtusângulo ou pequeno como um selo. E como é no caso do quadrilátero, do pentágono ou do hexágono? Quanto somam os ângulos deles?
Dividimos o polígono em triângulos
Pegue o pentágono ABCDE e, a partir do vértice A, trace diagonais até todos os vértices com os quais ele ainda não está ligado por um lado. São as diagonais AC e AD. Com elas, o pentágono se divide em três triângulos:
Olhe para os ângulos coloridos. Cada ângulo de um triângulo está em algum vértice do pentágono e, juntos, preenchem todos os ângulos internos do pentágono: nada sobra e nada falta. No vértice A se juntam os ângulos dos três triângulos; em C e D, apenas de dois. Assim, o pentágono tem a mesma soma de ângulos que três triângulos juntos, 3 · 180°.
Exatamente a mesma coisa acontece em qualquer polígono convexo. De um vértice saem diagonais para todos os outros vértices, exceto os dois vizinhos, e assim um polígono de n lados se divide em n − 2 triângulos. A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é, portanto,
A fórmula vale também para polígonos não convexos, isto é, aqueles que têm algum ângulo interno maior que 180°. Eles também podem ser divididos em triângulos, só que as diagonais não precisam sair todas de um mesmo vértice.
O quadrilátero tem quatro vértices; substituímos n = 4:
Isso confere também com o quadrado: seus quatro ângulos retos somam exatamente 4 · 90° = 360°.
No pentágono, n = 5:
E o hexágono, isto é, n = 6:
A cada vértice a mais surge um triângulo a mais, e a soma dos ângulos aumenta em 180°.
Por que não n triângulos?
O polígono também pode ser recortado de outro modo. Escolhemos um ponto P no interior e o ligamos a todos os vértices. O pentágono se divide, assim, em cinco triângulos. A conclusão tentadora é que a soma dos ângulos é 5 · 180°. Mas isso é um erro.
Os ângulos dos triângulos em torno do ponto P não pertencem aos ângulos internos do pentágono. Juntos, formam um ângulo de uma volta, 360°, e precisamos subtraí-lo:
Deu o mesmo resultado de antes. E obtemos o mesmo resultado em qualquer polígono convexo de n lados, porque 360° = 2 · 180°:
Polígono regular
No polígono regular, todos os lados têm o mesmo comprimento e todos os ângulos têm a mesma medida. Cada ângulo é obtido dividindo a soma de todos os ângulos pelo número n de ângulos:
Os ângulos de um pentágono regular medem 540°:5 = 108°; no hexágono regular são 720°:6 = 120°.
As abelhas constroem hexágonos regulares. O favo é montado com eles sem nenhuma folga, porque em cada vértice se encontram três hexágonos e seus ângulos somam
ou seja, exatamente um ângulo de uma volta.
Com pentágonos regulares isso não funcionaria: três ângulos de 108° somam 324°, então sobraria uma folga, e quatro somam 432°, o que já é demais. Como calcular a área de um polígono regular você encontra no artigo área do polígono regular de n lados.
Os ângulos externos somam 360°
O ângulo externo surge quando prolongamos o lado do polígono além do vértice. É o ângulo entre o prolongamento e o lado seguinte. Imagine que você está dando a volta no pentágono pelo perímetro. Em cada vértice você vira exatamente o ângulo externo. Quando você volta ao ponto de partida, está olhando na mesma direção do começo, ou seja, deu uma volta completa, de 360°.
O mostrador à direita indica quanto a seta já girou no total.
O mesmo resultado sai também nas contas. O ângulo interno e o externo em um mesmo vértice são suplementares adjacentes, portanto somam 180°. Para n vértices, isso dá no total n · 180°. Disso, (n − 2) · 180° cabem aos ângulos internos, e para os externos sobra
O número de vértices não importa. A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre 360°, seja um triângulo, seja um polígono de cem lados.
Veja também
Capítulos: Ângulo, Como construir a bissetriz de um ângulo, Transporte de um ângulo, Medida de ângulos em radianos, Ângulo orientado, Soma dos ângulos de um polígono, Conversão de inclinação em ângulo
