Shodnost trojúhelníků

Dva trojúhelníky jsou shodné, když jeden z nich vystřihneme z papíru a přesně jím překryjeme ten druhý. Vystřiženým trojúhelníkem přitom smíme hýbat, jak chceme: posunout ho, otočit, a dokonce i převrátit na druhou stranu. Jen ho nesmíme natáhnout ani zmenšit.

U shodných trojúhelníků jsou odpovídající strany stejně dlouhé a odpovídající úhly stejně velké. Na obrázku mají odpovídající strany stejnou barvu: strana AB je stejně dlouhá jako KL, strana BC jako LM a strana AC jako KM. Zapisuje se to takhle:

$$\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}KLM$$

Pořadí vrcholů v zápisu není náhodné. Určuje, který vrchol padne na který: A na K, B na L a C na M.

Věty o shodnosti

Trojúhelník má šest prvků: tři strany a tři úhly. Abychom poznali, že jsou dva trojúhelníky shodné, nemusíme porovnávat všech šest. Stačí tři, jen musí být vybrané správně. Které trojice stačí, prozradí čtyři věty o shodnosti. Na obrázcích jsou tyto tři prvky zvýrazněné barvou.

Věta sss: Dva trojúhelníky, které se shodují ve všech třech stranách, jsou shodné. Připomeňte si, jak se rýsuje trojúhelník ze tří stran. Bod C najdeme kružítkem jako průsečík dvou kružnic. Ty se sice protnou ve dvou bodech, nad stranou AB a pod ní, jenže oba vzniklé trojúhelníky jsou jen převrácené kopie jednoho a téhož. Ze tří stran tedy vždy vyjde tentýž trojúhelník.

Věta sus: Stačí dvě strany a úhel, který tyto strany svírají. Úhel musí ležet u vrcholu, kde se obě strany potkávají.

Věta usu: Stačí jedna strana a dva úhly, které k ní přiléhají. Ramena obou úhlů se protnou v jediném bodě, ve třetím vrcholu.

Věta Ssu: Stačí dvě strany a úhel, který leží proti větší z nich. Velké S v názvu nám připomíná, že jde o tu větší stranu.

Kdy to nestačí

Strašně to svádí říct, že stačí tři libovolné prvky. Nestačí.

Tři stejné úhly jsou málo. Trojúhelník se stejnými úhly může být libovolně velký, podobně jako fotka a její zvětšenina. Takové trojúhelníky mají tvar stejný, velikost ale ne, a říkáme jim podobné.

Neobstojí ani dvě strany a úhel proti menší z nich. Zkusme takový trojúhelník narýsovat. Nejdřív narýsujeme úhel α a na jedno jeho rameno naneseme stranu c = |AB|. Bod C leží na druhém rameni a od bodu B je vzdálený a, proto kolem B opíšeme kružnici o poloměru a. Je-li a menší než c, může kružnice protnout rameno ve dvou bodech:

Trojúhelníky ABC₁ a ABC₂ se shodují ve stranách a, c i v úhlu α, a přesto shodné nejsou. Kdyby bylo a větší než c, kružnice by rameno protnula jen jednou. A právě to říká věta Ssu.

Příklad: šířka řeky

Představte si, že stojíme na břehu řeky v bodě A a přímo proti nám na druhém břehu roste strom S. Jak zjistit šířku řeky, když přes ni nemůžeme natáhnout pásmo?

Vydáme se podél břehu a po 20 metrech zapíchneme kolík P. Pak ujdeme dalších 20 metrů až do bodu B. Tam zahneme kolmo od řeky a jdeme, dokud se nám kolík a strom nekryjí. V tom místě leží bod C.

Trojúhelníky APS a BPC jsou shodné podle věty usu. Obě strany AP a BP měří 20 metrů. Úhly u A a u B jsou pravé. Úhly u kolíku P jsou vrcholové, a tudíž také stejně velké. Z toho plyne

$$\mathrm{△}APS\cong \mathrm{△}BPC,$$

a strana BC je stejně dlouhá jako strana AS, tedy jako šířka řeky.

Řekněme, že z bodu B do bodu C jsme napočítali 36 kroků a jeden krok měří asi 75 cm. Vzdálenost |BC| potom vychází

$$|BC|\approx 36\cdot 0,75=27\text{m}$$

Řeka je široká přibližně 27 metrů, a to jsme se ani nenamočili.

Viz také

• Jak narýsovat trojúhelník
• Trojúhelník
• Přenášení úhlu