Monikulmion kulmien summa

Jos laskemme yhteen minkä tahansa kolmion sisäkulmat, saamme aina 180°. Ei haittaa, onko kolmio teräväkulmainen, tylppäkulmainen vai pieni kuin postimerkki. Entä nelikulmiossa, viisikulmiossa tai kuusikulmiossa? Kuinka paljon niiden kulmat ovat yhteensä?

Jaetaan se kolmioiksi

Otetaan viisikulmio ABCDE ja piirretään kärjestä A lävistäjät kaikkiin kärkiin, joihin se ei vielä ole yhteydessä sivulla. Ne ovat lävistäjät AC ja AD. Ne jakavat viisikulmion kolmeen kolmioon:

Katso värillisiä kulmia. Jokainen kolmion kulma on jossakin viisikulmion kärjessä, ja yhdessä ne täyttävät kaikki viisikulmion sisäkulmat: mitään ei jää yli eikä puutu. Kärjessä A kohtaavat kaikkien kolmen kolmion kulmat, kärjissä C ja D vain kahden. Viisikulmion kulmien summa on siis sama kuin kolmen kolmion kulmien summa yhteensä, 3 · 180°.

Aivan samoin käy jokaisessa kuperassa monikulmiossa. Yhdestä kärjestä lähtevät lävistäjät kaikkiin muihin kärkiin paitsi kahteen viereiseen, ja n-kulmio jakautuu näin n − 2 kolmioon. n-kulmion sisäkulmien summa on siis

$$(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Kaava pätee myös koveriin monikulmioihin eli sellaisiin, joissa jokin sisäkulma on suurempi kuin 180°. Nekin voi jakaa kolmioiksi, mutta lävistäjien ei tarvitse lähteä kaikkien samasta kärjestä.

Nelikulmiolla on neljä kärkeä, sijoitamme n = 4:

$$(4-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Se täsmää myös neliössä: sen neljä suoraa kulmaa ovat yhteensä juuri 4 · 90° = 360°.

Viisikulmiolla n = 5:

$$(5-2)\cdot {180}^{\circ }=3\cdot {180}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Ja kuusikulmiolla eli n = 6:

$$(6-2)\cdot {180}^{\circ }=4\cdot {180}^{\circ }={720}^{\circ }$$

Jokaista uutta kärkeä kohden kolmioita tulee yksi lisää ja kulmien summa kasvaa 180°:lla.

Miksei n kolmiota?

Monikulmion voi leikata kolmioihin myös toisin. Valitaan piste P sisältä ja yhdistetään se kaikkiin kärkiin. Viisikulmio jakautuu näin viiteen kolmioon. Houkutteleva johtopäätös on, että kulmien summa on 5 · 180°. Mutta se on virhe.

Kolmioiden kulmat pisteessä P eivät kuulu viisikulmion sisäkulmiin. Yhdessä ne muodostavat täysikulman 360°, ja se on vähennettävä:

$$5\cdot {180}^{\circ }-{360}^{\circ }={900}^{\circ }-{360}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Tulos on sama kuin aiemmin. Ja saman tuloksen saamme jokaisessa kuperassa n-kulmiossa, koska 360° = 2 · 180°:

$$n\cdot {180}^{\circ }-2\cdot {180}^{\circ }=(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Säännöllinen monikulmio

Säännöllisessä monikulmiossa kaikki sivut ovat yhtä pitkiä ja kaikki kulmat yhtä suuria. Yhden kulman saamme jakamalla kaikkien kulmien summan niiden lukumäärällä n:

$$\frac{(n-2)\cdot {180}^{\circ }}{n}$$

Säännöllisen viisikulmion kulmat ovat 540°:5 = 108°, säännöllisen kuusikulmion kulmat 720°:6 = 120°.

Mehiläiset rakentavat säännöllisiä kuusikulmioita. Kenno on koottu niistä ilman yhtään rakoa, koska jokaisessa kärjessä kohtaa kolme kuusikulmiota ja niiden kulmat ovat yhteensä

$$3\cdot {120}^{\circ }={360}^{\circ },$$

eli täsmälleen täysikulma.

Säännöllisillä viisikulmioilla se ei onnistuisi: kolme 108° kulmaa on yhteensä 324°, joten jäisi rako, ja neljä on 432°, mikä on jo liikaa. Miten säännöllisen monikulmion pinta-ala lasketaan, löydät artikkelista säännöllisen n-kulmion pinta-ala.

Ulkokulmien summa on 360°

Ulkokulma syntyy, kun monikulmion sivu jatketaan kärjen yli. Se on jatkeen ja seuraavan sivun välinen kulma. Kuvittele, että kävelet viisikulmion reunaa. Jokaisessa kärjessä käännyt täsmälleen ulkokulman verran. Kun palaat alkuun, katsot samaan suuntaan kuin alussa, joten olet kääntynyt yhden kokonaisen kierroksen eli 360°.

Oikealla oleva kellotaulu näyttää, kuinka paljon nuoli on yhteensä jo kääntynyt.

Sama tulee myös laskemalla. Sisä- ja ulkokulma samassa kärjessä ovat vieruskulmat, joten yhteensä ne ovat 180°. n kärjessä se on yhteensä n · 180°. Siitä (n − 2) · 180° kuuluu sisäkulmille, ja ulkokulmille jää

$$n\cdot {180}^{\circ }-(n-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Kärkien lukumäärällä ei ole väliä. Kuperan monikulmion ulkokulmien summa on aina 360°, olipa kyse kolmiosta tai satakulmiosta.

Katso myös

• Kolmio
• Säännöllisen n-kulmion pinta-ala
• Kulma
• Kolmioiden yhtenevyys