Çokgenlerde Açıların Toplamı

Herhangi bir üçgenin iç açılarını toplarsak her zaman 180° buluruz. Üçgenin dar açılı, geniş açılı ya da posta pulu kadar küçük olması fark etmez. Peki dörtgende, beşgende ya da altıgende durum nedir? Açıları toplamda kaç eder?

Üçgenlere Bölelim

ABCDE beşgenini alalım ve A köşesinden, kendisiyle henüz bir kenarla birleşmemiş bütün köşelere köşegenler çizelim. Bunlar AC ve AD köşegenleridir. Beşgen bu köşegenlerle üç üçgene ayrılır:

Renkli açılara bak. Üçgenlerin her açısı beşgenin bir köşesinde yer alır ve hepsi birlikte beşgenin bütün iç açılarını doldurur; hiçbir şey artmaz, hiçbir şey eksik kalmaz. A köşesinde üç üçgenin açıları buluşur, C ve D köşelerinde ise yalnızca ikisinin. Demek ki beşgenin açılar toplamı, üç üçgenin toplamına, yani 3 · 180°’ye eşittir.

Aynısı her dışbükey çokgende de olur. Bir köşeden, komşu iki köşe dışındaki bütün köşelere köşegenler çizilir ve n kenarlı çokgen böylece n − 2 üçgene ayrılır. O hâlde n kenarlı çokgenin iç açıları toplamı

$$(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

olur.

Formül dışbükey olmayan çokgenler için de geçerlidir; yani iç açılarından biri 180°’den büyük olanlar için. Onlar da üçgenlere ayrılabilir, ancak köşegenlerin hepsi tek bir köşeden çıkmak zorunda değildir.

Dörtgenin dört köşesi vardır, n = 4 yazarız:

$$(4-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Bu, karede de tutuyor: dört dik açısı toplamda tam olarak 4 · 90° = 360° eder.

Beşgende n = 5’tir:

$$(5-2)\cdot {180}^{\circ }=3\cdot {180}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Altıgen için, yani n = 6 için:

$$(6-2)\cdot {180}^{\circ }=4\cdot {180}^{\circ }={720}^{\circ }$$

Her yeni köşeyle bir üçgen daha eklenir ve açılar toplamı 180° artar.

Neden n Üçgen Değil?

Çokgen başka türlü de kesilebilir. İçeride bir S noktası seçip onu bütün köşelerle birleştiririz. Beşgen böylece beş üçgene ayrılır. Cazip sonuç, açılar toplamının 5 · 180° olduğudur. Ama bu bir hatadır.

Üçgenlerin S noktasındaki açıları beşgenin iç açıları arasında yer almaz. Birlikte 360°’lik tam açıyı oluştururlar ve onu çıkarmamız gerekir:

$$5\cdot {180}^{\circ }-{360}^{\circ }={900}^{\circ }-{360}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Öncekinin aynısı çıktı. Her dışbükey n kenarlı çokgende de aynı sonucu buluruz, çünkü 360° = 2 · 180°:

$$n\cdot {180}^{\circ }-2\cdot {180}^{\circ }=(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Düzgün Çokgen

Düzgün çokgende bütün kenarlar eşit uzunlukta, bütün açılar eşit büyüklüktedir. Bir açıyı bulmak için bütün açıların toplamını sayılarına, yani n’ye böleriz:

$$\frac{(n-2)\cdot {180}^{\circ }}{n}$$

Düzgün beşgenin açıları 540°:5 = 108° ölçüsündedir, düzgün altıgende ise 720°:6 = 120°.

Düzgün altıgenleri arılar yapar. Petek, aralarında hiç boşluk kalmadan altıgenlerden örülmüştür, çünkü her köşede üç altıgen buluşur ve açıları toplamda

$$3\cdot {120}^{\circ }={360}^{\circ },$$

yani tam olarak bir tam açı eder.

Düzgün beşgenlerle bu olmazdı: 108°’lik üç açı 324° eder, yani bir boşluk kalırdı; dördü ise 432° eder, bu da fazla. Düzgün bir çokgenin alanını nasıl hesaplayacağını Düzgün Çokgenin Alanı yazısında bulabilirsin.

Dış Açılar Toplamda 360° Eder

Çokgenin bir kenarını köşenin ötesine uzattığımızda dış açı oluşur. Bu, uzantı ile sonraki kenar arasındaki açıdır. Beşgenin çevresinde yürüdüğünü düşün. Her köşede tam olarak dış açı kadar dönersin. Başlangıca döndüğünde başladığın yöne bakarsın; yani bir tam tur, 360° dönmüş olursun.

Sağdaki kadran, okun şimdiye kadar toplam ne kadar döndüğünü gösterir.

Aynısı hesapla da çıkar. Bir köşedeki iç açı ile dış açı komşu bütünlerdir, yani toplamları 180°’dir. n köşede bu toplam n · 180° eder. Bunun (n − 2) · 180°’si iç açılara düşer, dış açılara ise şu kalır:

$$n\cdot {180}^{\circ }-(n-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Köşe sayısı önemli değildir. Dışbükey bir çokgenin dış açıları toplamı, ister üçgen ister yüz kenarlı çokgen olsun, her zaman 360°’dir.

Ayrıca Bak

• Üçgen
• Düzgün Çokgenin Alanı
• Açı
• Üçgenlerde Eşlik