Bryta ut

Innan vi går in på att bryta ut går vi igenom hur man multiplicerar in i parentesen, eftersom det hänger nära ihop med att bryta ut. Man kan till och med säga att utbrytning är precis motsatsen till att multiplicera in i en parentes.

Multiplicera in i parentesen

Att multiplicera in i en parentes är en enkel operation som vi visar med ett exempel: vi beräknar uttrycket 3 · (5 + 8). Vi har två sätt att gå tillväga. Vi kan addera talen i parentesen och får 3 · 13, eftersom 5 + 8 = 13.

Det andra sättet är att multiplicera in i parentesen. Det betyder att vi tar talet framför parentesen, trean, och multiplicerar båda talen i parentesen med det. Plustecknet i parentesen blir kvar. Vi får då:

$$3\cdot (5+8)=(3\cdot 5+3\cdot 8)$$

Båda sätten leder till samma resultat: (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39.

Varför det fungerar att multiplicera in i parentesen

Varför får vi göra så, varför fungerar det? Tänk dig en produkt som en utskriven summa. Om vi till exempel skriver 3 · 7 säger vi att vi vill addera talet sju tre gånger, alltså 3 · 7 = 7 + 7 + 7.

På samma sätt kan vi skriva ut exemplet med parentesen: 3 · (5 + 8) är samma sak som (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8). Eftersom ordningen inte spelar någon roll vid addition kan vi ta bort parenteserna och flytta femmorna och åttorna intill varandra så här: 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8. Och här ser vi redan att uttrycket kan skrivas om med multiplikation så här: 3 · 5 + 3 · 8, vilket är just det vi gjorde när vi multiplicerade in i parentesen.

Exempel på att multiplicera in i parentesen

1. Multiplicera in i parentesen i 5 · (4 + 7). Återigen multiplicerar vi bara talen i parentesen med femman och får 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7.
2. Multiplicera in i parentesen i 6 · (x + 4). Låt oss inte skrämmas av den obekanta, utan helt enkelt multiplicera även den med sexan. Vi får: 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4.
3. Multiplicera in i parentesen i x · (4 + 173). Nu har vi den obekanta framför parentesen, så vi multiplicerar båda talen inuti parentesen med x. Vi får x · (4 + 173) = 4x + 173x.
4. Multiplicera in i parentesen i 4x · (2x + 7). Nu har vi den obekanta både framför och i parentesen, och dessutom ett mer sammansatt uttryck framför parentesen. Det gör ingenting, vi multiplicerar parentesens innehåll med 4x så här: 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x² + 28x.

Enkel utbrytning

Att bryta ut är motsatsen till att multiplicera in i en parentes. Vi utgår till exempel från uttrycket 10x + 5. Om vi nu hittar något tal som vi på ett rimligt sätt kan dividera båda termerna med, kan vi bryta ut det talet. I vårt uttryck är det talet 5, eftersom 10x / 5 = 2x och 5 / 5 = 1. Vi kan alltså skriva att

$$10x+5=5\cdot (2x+1).$$

När vi sedan multiplicerar in i parentesen 5 · (2x + 1) får vi tillbaka 10x + 5. Målet med att bryta ut är oftast att förenkla uttrycket eller få det på formen av en produkt, så att vi kan förkorta det i ett bråk.

Att bryta ut den obekanta

Ofta bryter man ut själva den obekanta, vi behöver inte bara bryta ut tal. Om vi har uttrycket 3x² + 7x kan vi alltså bryta ut x, det vill säga dividera båda termerna med x, sätta parentes och multiplicera parentesen med x. Vi får 3x² + 7x = x · (3x + 7).

Vanligtvis försöker vi bryta ut så ”mycket” som möjligt, så om vi hade uttrycket 8x² + 12x kunde vi bryta ut bara x och få 8x² + 12x = x · (8x + 12), men vi ser att vi ur parentesen också kunde bryta ut talet 4. Det kan vi göra nu, i efterhand, och får: x · (4 · (2x + 3)). De yttre parenteserna kan vi ta bort och får: 4x · (2x + 3).

Vi hade dock kommit till samma resultat om vi direkt hade brutit ut uttrycket 4x ur det ursprungliga uttrycket 8x² + 12x. Om vi skrev ut det skulle vi få

$$8x^2+12x=4x\cdot (8x^2/4x+12x/4x)=4x\cdot (2x+3).$$

Att bryta ut ur mer sammansatta uttryck

Hittills har vi bara brutit ut ur uttryck med två termer. Men vi kan bryta ut också ur längre uttryck. Ur 7x³ + 5x² + 2x kan vi till exempel bryta ut x och får x · (7x² + 5x + 2).

Vi behöver inte heller alltid bryta ut något fint tal, vi kan bryta ut vad som helst. Ur uttrycket 6x + 7 kan vi till exempel bryta ut talet 2, men vi får ett fult resultat, eftersom vi måste dividera båda termerna med två. För 6x går det bra, eftersom 6x / 2 = 3x, men för talet 7 blir det inte så fint: 7 / 2 = 3,5. Vi får då uttrycket: 6x + 7 = 2 · (3x + 3,5).

Lösta exempel

• Bryt ut något lämpligt ur 25x + 45. Redan vid en första anblick ser vi att vi kan bryta ut talet 5, så vi får 5 · (5x + 9).

• Förenkla bråket

  $$\frac{3x^2+7x}{x}.$$

  Först bryter vi ut x i bråkets täljare. Vi får då x · (3x + 7) i täljaren. Nu kan vi förkorta x i hela bråket.

  $$\frac{3x^2+7x}{x}=\frac{x\cdot (3x+7)}{x}=3x+7$$

• Bryt ut något lämpligt ur −2x² − 8x. Här har vi för första gången negativa tal. Det gör ingenting, precis som vi har brutit ut positiva tal kan vi bryta ut negativa. Vi kan alltså direkt bryta ut −2x. Vi får

  $$-2x^2-8x=-2x(x+4).$$