Distributivitet

Distributivitet är en egenskap hos två binära operationer, till exempel addition och multiplikation. För multiplikation och addition säger distributiviteten att vi kan ”multiplicera in i parentesen”. Om vi till exempel har uttrycket

$$2\cdot (3+4)$$

vet vi att vi kan multiplicera in i parentesen, och då får vi ett annat uttryck

$$2\cdot (3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4$$

Båda uttrycken ger samma resultat, talet 14. Vi kunde göra den här omskrivningen eftersom multiplikation i mängden av reella tal är distributiv över addition. Allmänt gäller att om vi har två operationer · och +, så säger vi att operationen · är distributiv över operationen + i mängden M om

$$\begin{array}{rcl}a\cdot (b+c)& =& (a\cdot b)+(a\cdot c)\\ (b+c)\cdot a& =& (b\cdot a)+(c\cdot a)\end{array}$$

för alla a, b, c ∈ M. Ett annat exempel på distributiva operationer är operationerna i satslogiken, konjunktion ∧ och disjunktion ∨. Tänk dig att vi har påståendena A, B och C. Om vi säger ”A och samtidigt (B eller C)” skriver vi det som

$$A\wedge (B\vee C)$$

Och eftersom konjunktion är distributiv över disjunktion gäller också

$$(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$$

Med ord: ”(A och samtidigt B) eller (A och samtidigt C)”. För att ha ett exempel på operationer som inte är distributiva tar vi addition och subtraktion:

$$10-(5+3)$$

Det rätta resultatet är förstås 2, eftersom vi efter att ha adderat parentesen får 10 − 8, vilket är 2. Om vi använde den distributiva lagen på den här beräkningen skulle vi få uttrycket:

$$(10-5)+(10-3)$$

Efter att ha beräknat parenteserna skulle vi ha 5 + 7, vilket är 12. Vi ser att vi fick ett felaktigt resultat, så addition och subtraktion är inte distributiva över varandra.

Fler exempel: vissa operationer med matriser uppfyller den distributiva lagen. Det gör också vektorer i ett vektorrum. Operationerna i en kropp måste vara distributiva.