Linjära ekvationer

En linjär ekvation är en ekvation som vi kan skriva om på formen ax + b = 0, där a ≠ 0. Ett konkret exempel är 2x + 4 = 0. Lösningen till den här ekvationen är talet −2, vilket man ganska logiskt kan komma fram till i huvudet. Med lite större tal blir det inte lika enkelt att gissa sig fram, så vi behöver en mer konkret metod.

Allmän form för en linjär ekvation

Mer exakt är det en ekvation med en obekant x som med hjälp av ekvivalenta omformningar kan skrivas på formen ax + b = 0, där a ≠ 0. Den obekanta är varken upphöjd, under ett rottecken eller något liknande. Ekvationer där den obekanta står i nämnaren i ett bråk kan bara skrivas om till den här formen om nämnaren inte är noll. Därför löser vi dem separat, se linjära ekvationer med den obekanta i nämnaren. Titta på exempel på olika linjära ekvationer:

$$\begin{array}{rcl}2x+7& =& 0\\ x-2& =& 74\\ (x+3)-(7x\cdot 3)& =& -12x\\ \frac{x}{2}+\frac{3x}{72}& =& x\cdot \frac{45}{8}+1\end{array}$$

Som du ser kan en linjär ekvation se ut på många olika sätt. För att det ska bli lätt att lösa dem behöver vi först skriva dem på samma form, som vi kallar allmän form:

$$ax+b=0,$$

där x är den obekanta och a och b är godtyckliga reella tal, som vi kallar ekvationens koefficienter. Talet a får inte vara noll, dvs. a ≠ 0. Uttrycket ax kallar vi den linjära termen och b kallar vi konstanttermen.

När du löser en linjär ekvation kommer du inte undan ekvivalenta omformningar, alltså omformningar som inte ändrar ekvationens lösning. Utan dem går det inte att lösa mer komplicerade ekvationer. Vi kan skriva om en ekvation till allmän form antingen genom att förenkla själva uttrycken i ekvationen eller med just ekvivalenta omformningar.

Vi går tillbaka till exemplen ovan. Den första ekvationen, 2x + 7 = 0, har redan allmän form, så vi ser direkt koefficienterna a = 2 och b = 7. För den andra ekvationen, x − 2 = 74, är det inte lika enkelt. Med en ekvivalent omformning adderar vi talet −74 till båda led (eller med andra ord subtraherar talet 74 från båda led) och får x − 76 = 0. Nu har ekvationen allmän form, med koefficienterna a = 1 och b = −76.

Den tredje ekvationen är långt från allmän form, men även den klarar vi. Först ”skapar” vi en nolla i högerledet: vi adderar uttrycket 12x till båda led. Högerledet blir då noll, eftersom (−12x) + 12x = 0. Hela ekvationen ser då ut så här:

$$(x+3)-(7x\cdot 3)+12x=0$$

Nu behöver vi bara ta bort parenteserna och addera termerna med x.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)-(7x\cdot 3)+12x& =& 0\\ x+3-21x+12x& =& 0\\ -8x+3& =& 0\end{array}$$

Den här linjära ekvationen har allmän form och koefficienterna a = −8 och b = 3.

I den sista ekvationen måste vi bli av med bråken. Därför multiplicerar vi hela ekvationen med talet 72, som är delbart med alla nämnare:

$$72\cdot \frac{x}{2}+72\cdot \frac{3x}{72}=72x\cdot \frac{45}{8}+72\cdot 1$$

Nu förkortar vi bråken:

$$36x+3x=9x\cdot 45+72$$

I vänsterledet adderar vi och i högerledet multiplicerar vi:

$$39x=405x+72$$

Det sista steget är att subtrahera 405x och 72 från båda led, och då har ekvationen allmän form:

$$-366x-72=0$$

Koefficienterna blev alltså a = −366 och b = −72.

Så löser du en linjär ekvation

När en linjär ekvation har allmän form är den enkel att lösa. Vi tar ett exempel: 3x − 18 = 0. Från vilket tal ska vi subtrahera 18 för att få noll? Från talet 18, förstås. För att uttrycket 3x − 18 ska vara lika med noll måste alltså uttrycket 3x vara lika med 18, för då får vi 18 − 18 = 0. När är 3x lika med 18? Precis när x = 6, eftersom 3 · 6 = 18.

Hur kan vi göra en allmän metod av det här? Först måste vi ta reda på vad den linjära termen ax ska vara lika med. Det gör vi genom att flytta konstanttermen till högerledet, dvs. vi adderar −b till ekvationen. Då får vi ekvationen ax + b − b = −b, vilket är samma sak som ax = −b. I exemplet ovan skulle vi alltså få 3x − 18 + 18 = 18, dvs. 3x = 18. Kom ihåg att b var lika med b = −18, så när vi adderar −b adderar vi −(−18), och det är lika med +18.

Nu har vi ekvationen på formen ax = −b. Hur får vi fram x direkt? I exemplet sökte vi det x som ger 18 när vi multiplicerar det med tre. Vad gjorde vi egentligen? Vi dividerade 18/3 = 6. Vi tog alltså uttrycket i högerledet (−b) och dividerade det med a, i exemplet med tre. Från ax = −b får vi därför

$$x=\frac{-b}{a}=-\frac{b}{a}$$

Hela metoden tillämpad på det första exemplet ser ut så här:

$$\begin{array}{rcl}3x-18& =& 0/+18\\ 3x& =& 18/:3\\ x& =& 6\end{array}$$

Geometrisk betydelse

När vi har skrivit om en linjär ekvation på allmän form får vi en linjär funktion i vänsterledet. Grafen till en linjär funktion är en rät linje. Eftersom den allmänna formen av en linjär ekvation är ax + b = 0 är lösningarna alla punkter där linjen (grafen till den linjära funktionen) skär x-axeln (som samtidigt är grafen till funktionen f(x) = 0, dvs. högerledet).

Vi har till exempel kommit fram till att lösningen till ekvationen 3x − 18 = 0 är x = 6. Vad betyder det? Att grafen till funktionen 3x − 18 skär x-axeln i punkten x = 6.

Vi försöker lösa ekvationen 5x + 2 = 2x − 7 grafiskt. Hur gör vi? Vi kan skriva om ekvationen på allmän form, dvs. addera −2x, så att vi får 3x + 2 = −7, och sedan addera 7: 3x + 9 = 0. Nu ritar vi grafen till den linjära funktionen y = 3x + 9 och undersöker var den skär x-axeln.

Det andra sättet är att inte omforma ekvationen alls, utan i stället rita graferna till funktionerna i båda leden. Vi ritar alltså graferna till f(x) = 5x + 2 och g(x) = 2x − 7.

De två linjerna skär varandra i en punkt, som är markerad med A. Vilken x-koordinat har punkten A? Återigen x = −3. Den grafiska lösningen till ekvationen 5x + 2 = 2x − 7 är alltså x-koordinaten för skärningspunkten mellan graferna till funktionerna i vänster- och högerledet.

Lösta exempel

Exempel 1: Vi löser ekvationen 7x − 14 = 0. Situationen är enkel, ekvationen har redan allmän form, så vi tillämpar bara metoden:

$$\begin{array}{rcl}7x-14& =& 0/+14\\ 7x& =& 14/:7\\ x& =& 2\end{array}$$

Exempel 2: Lös ekvationen 2x + 10 = 0. Ekvationen har återigen allmän form, men se upp med att b är positivt, så du får ett negativt tal i högerledet efter omformningen:

$$\begin{array}{rcl}2x+10& =& 0/-10\\ 2x& =& -10/:2\\ x& =& -5\end{array}$$

Exempel 3: Lös ekvationen 15 − 3x = 0. Ekvationen är nästan på allmän form, vi behöver bara sätta den obekanta x först. Då får vi ekvationen −3x + 15 = 0. Se upp igen: här har vi ett minustecken framför den linjära termen, vilket vi inte har haft tidigare. Omformningarna blir ändå precis likadana:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/:(-3)\\ x& =& 5\end{array}$$

Exemplet kan också lösas lite annorlunda, på ett längre sätt. I stället för att direkt dividera ekvationen med −3 kan vi först multiplicera ekvationen med −1, så att vi blir av med båda minustecknen. Sedan kan vi dividera med tre:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/\cdot (-1)\\ 3x& =& 15/:3\\ x& =& 5\end{array}$$

Exempel 4: Lös den linjära ekvationen

$$3+\frac{x}{4}=\frac{x}{2}$$

Den här ekvationen är lite svårare, eftersom den innehåller bråk. Först måste vi bli av med bråken. Det bästa är att multiplicera hela ekvationen med den minsta gemensamma multipeln av alla nämnare. Vi har två nämnare, 4 och 2. Den minsta gemensamma multipeln är 4. Om du inte orkar räkna ut den kan du multiplicera hela ekvationen med produkten av alla nämnare, dvs. 4 · 2 = 8, men det är inget rekommenderat sätt, eftersom du då gör det svårare för dig själv i nästa steg. Om vi multiplicerar ekvationen med fyra blir vi av med bråken genom att förkorta och förenkla dem:

$$\begin{array}{rcl}3+\frac{x}{4}& =& \frac{x}{2}/\cdot 4\\ 4\cdot 3+4\cdot \frac{x}{4}& =& 4\cdot \frac{x}{2}\\ 12+\frac{4x}{4}& =& \frac{4x}{2}\\ 12+x& =& 2x\end{array}$$

Nu skriver vi om ekvationen på allmän form: x − 12 = 0, och av den ser vi direkt att x = 12.

Exempel 5 (textuppgift): Vi tar två bröder, Oscar och Hugo. Oscar började jobba direkt efter gymnasiet, medan Hugo studerade vidare på universitetet i totalt fem år. Oscar fick varje månad en lön på 28 000 kr. Trots att Hugo utbildade sig i rekreologi med inriktning på att ligga i solstol lyckades han få ett jobb på en myndighet, där han fick 38 000 kr i månaden. Efter hur lång tid har Hugo tjänat lika mycket som Oscar sammanlagt? För att göra det tydligt: på fem år tjänade Oscar 5 · 12 · 28 000 kronor, medan Hugo efter fem år inte har tjänat något alls. Efter hur många månader är de två beloppen lika stora?

Utifrån uppgiften kan vi ställa upp en linjär ekvation så här: variabeln x står för det antal månader vi söker, där x = 0 betyder noll månader sedan Hugo tog examen.

Först ställer vi upp en funktion som anger Hugos inkomst beroende på antalet månader. Om vi till exempel vill veta Hugos inkomst efter sex månader räknar vi enkelt ut att 38 000 · 6 = 228 000 kr. Allmänt kan vi skriva att Hugo efter x månader har tjänat totalt 38 000 · x kronor.

För Oscar blir det liknande: 28 000 · x, men vi måste också addera det belopp han tjänade medan Hugo studerade. Hugo studerade i fem år, så Oscar tjänade under studietiden 5 · 12 · 28 000 kronor. Hela uttrycket för Oscar blir alltså: 5 · 12 · 28 000 + 28 000 · x.

Vi sätter funktionerna lika med varandra, eftersom vi vill veta för vilket x inkomsterna är lika stora:

$$5\cdot 12\cdot 28000+28000\cdot x=38000\cdot x$$

Vi förenklar ekvationen genom att flytta alla x till ena sidan:

$$10000x=5\cdot 12\cdot 28000$$

Till sist dividerar vi med 10 000:

$$x=5\cdot 12\cdot 2,8=168$$

Efter 168 månader har båda tjänat lika mycket. Medan Hugo studerade tjänade Oscar hela 5 · 12 · 28 000 = 1 680 000 kr, och under de följande 168 månaderna tjänade han 28 000 · 168 = 4 704 000 kr, vilket blir totalt 1 680 000 + 4 704 000 = 6 384 000 kr. Hugo arbetade bara under dessa 168 månader och tjänade under den tiden 38 000 · 168 = 6 384 000 kr. Vi ser att båda efter fem års studier och ytterligare 168 månader verkligen har tjänat lika mycket.

Fler exempel

Lös följande linjära ekvation:

$$2\cdot (x-7)=6$$

Först multiplicerar vi in 2 i parentesen:

$$2x-14=6$$

Nu låter vi uttrycket med den obekanta stå kvar i vänsterledet och flyttar allt annat till högerledet:

$$2x=20$$

… och till sist dividerar vi med två.

$$x=10$$

Lös ekvationen

$$3\cdot (3-x)+5\cdot (x-2)=0$$

Vi multiplicerar återigen först in i parenteserna:

$$9-3x+5x-10=0$$

Vi förenklar så långt det går, flyttar termerna med den obekanta till vänsterledet och resten till högerledet:

$$\begin{array}{rcl}9-3x+5x-10& =& 0\\ 2x-1& =& 0\\ 2x& =& 1\end{array}$$

Till sist dividerar vi hela ekvationen med två:

$$x=\frac{1}{2}$$