Ekvationssystem

I praktiken stöter vi ofta på fall där vi inte löser en enda ekvation, utan två ekvationer samtidigt (eller ännu fler). Först visar vi hur du löser ett sådant ekvationssystem med substitutionsmetoden. Om du vill lösa ekvationssystem med matriser, gå till artikeln system av linjära ekvationer.

Grunderna

Ett ekvationssystem består av flera ekvationer som vi löser tillsammans. I ett ekvationssystem har vi vanligtvis också fler än en variabel, och vi försöker hitta en kombination av tal som gör att alla ekvationer stämmer när vi sätter in dem för alla variabler.

Ett exempel på ett ekvationssystem är det här systemet:

$\begin{array}{ccccc} a & + & b & = & 0 \\ 2 a & + & b & = & 10 \end{array}$

Lösningen till det här systemet ska vara ett par (eller en mängd av par) av tal som vi sätter in för variablerna a och b, så att båda ekvationerna fortfarande gäller. Med lite huvudräkning ser vi att variabeln a måste vara lika med −b för att ekvationen a + b = 0 ska vara uppfylld. Med den kunskapen ser vi lätt av den andra ekvationen att a = 10 och b = −10. När vi sätter in får vi:

$\begin{array}{ccccc} 10 & - & 10 & = & 0 \\ 2 \cdot 10 & - & 10 & = & 10 \end{array}$

Så, nu har vi löst systemet på känn. Nu går vi över till några användbara metoder för att lösa ekvationssystem.

Substitutionsmetoden

I substitutionsmetoden löser vi ut en av de obekanta ur den ena ekvationen och sätter sedan in resultatet i den andra ekvationen. Först behöver vi alltså ett system. Till exempel det här:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Det här är ett enkelt system med två ekvationer och två obekanta. Vår uppgift är att bestämma variablerna x och y så att båda ekvationerna stämmer. Vi löser ut y ur den första ekvationen. Vi tar alltså bara den första ekvationen och löser ut y.

$4 x + 2 y = 6$

Först subtraherar vi 4x:

$2 y = 6 - 4 x$

Vi dividerar med två:

$y = 3 - 2 x$

Nu vet vi vad y är lika med. Det här resultatet kan vi sätta in för variabeln y i den andra ekvationen. Vi skriver alltså 3 − 2x i stället för y i den andra ekvationen. Vad vinner vi på det? Jo, i den andra ekvationen har vi då inte längre två variabler utan bara en, eftersom vi i stället för variabeln y har satt in ett uttryck som bara innehåller variabeln x. Vi sätter alltså in:

$\begin{array}{lllll} 5 x & - & 3 y & = & 13 / y = 3 - 2 x \\ 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \end{array}$

Nu multiplicerar vi in i parentesen och förenklar så långt det går:

$\begin{array}{rrrll} 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \\ 5 x & - & (9 - 6 x) & = & 13 \\ 5 x & - & 9 + 6 x & = & 13 \\ 11 x - 9 & = & 13 \\ 11 x & = & 22 \\ x & = & 2 \end{array}$

Nu känner vi värdet på x, det är lika med två. Det återstår att beräkna värdet på y. Det gör vi genom att sätta in det redan kända värdet på x i någon ekvation som innehåller båda variablerna, både x och y. Vi kan till exempel välja den allra första ekvationen. Vi sätter in så här:

$\begin{array}{rrcll} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 y & = & 6 \\ 2 y & = & 6 - 8 \\ 2 y & = & - 2 \\ y & = & - 1 \end{array}$

Därmed har vi löst systemet. Ekvationssystemet har en enda lösning, nämligen x = 2 och y = −1. Om du vill kontrollera resultatet sätter du helt enkelt in det i båda ekvationerna. Så här blir det när vi sätter in i den första ekvationen:

$\begin{array}{rrrcl} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2, y = - 1 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 \cdot (- 1) & = & 6 \\ 8 & - & 2 & = & 6 \\ 6 & = & 6 \end{array}$

Och när vi sätter in i den andra ekvationen:

$\begin{array}{rrrcl} 5 x & - & 3 y & = & 13 / x = 2, y = - 1 \\ 5 \cdot 2 & - & 3 \cdot (- 1) & = & 13 \\ 10 & + & 3 & = & 13 \\ 13 & = & 13 \end{array}$

Additionsmetoden

Den här metoden tycker jag bättre om, men det beror förstås på det enskilda exemplet. Den passar inte alltid. Principen i additionsmetoden är att addition av ekvationer är en ekvivalent omformning när vi löser ekvationssystem. Vi adderar ekvationer genom att addera vänsterledet i den ena ekvationen till vänsterledet i den andra och sedan addera högerleden. Vi tar ett allmänt ekvationssystem som ser ut så här:

$\begin{array}{rrrcl} f_{1} (x) & + & g_{1} (y) & = & a \\ f_{2} (x) & + & g_{2} (y) & = & b \end{array}$

Om vi adderar de här ekvationerna får vi en enda ekvation som definieras så här:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) + g_{1} (y) + g_{2} (y) = a + b$

Vi har adderat vänsterleden för sig och högerleden för sig. Men vad är vårt mål? Om vi adderar två ekvationer och det fortfarande finns två variabler kvar hjälper det oss inte mycket. Därför försöker vi se till att en variabel försvinner när vi adderar de båda ekvationerna, dvs. att termerna tar ut varandra. Vi vill alltså att summan av ett av paren av funktioner, antingen f eller g, ska vara noll:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) = 0 \lor g_{1} (y) + g_{2} (y) = 0$

Hur gör vi det? Ett ekvationssystem består av vanliga ekvationer, på vilka vi kan använda ekvivalenta omformningar, precis som vi känner till dem från vanliga typer av ekvationer. Därför kan vi multiplicera någon av ekvationerna med ett tal utan att ekvationens giltighet ändras. Vi försöker lösa det förra ekvationssystemet med additionsmetoden. Uppgiften är alltså densamma:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Om vi adderade ekvationerna direkt skulle båda variablerna finnas kvar:

$4 x + 5 x \neq 0, 2 y - 3 y \neq 0$

Därför måste vi först göra några omformningar. Vi försöker få variabeln y att ”försvinna”. Då måste koefficienten framför y vara lika stor i båda ekvationerna, utom tecknet – det måste vara motsatt. Vi söker alltså den minsta gemensamma multipeln, som är 6. Ett enkelt sätt är att multiplicera koefficienterna: två gånger tre är sex – talet sex är alltså säkert delbart med båda talen (anmärkning: det här sättet ger inte den minsta gemensamma multipeln, men det ger ett tal som är delbart med båda koefficienterna).

Nu försöker vi få en sexa framför y i varje ekvation. Vi multiplicerar alltså den första ekvationen med tre och den andra med två:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 / \cdot 3 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 / \cdot 2 \end{array}$

Vi får:

$\begin{array}{ccccc} 12 x & + & 6 y & = & 18 \\ 10 x & - & 6 y & = & 26 \end{array}$

Nu adderar vi ekvationerna:

$\begin{array}{rcl} 12 x + 10 x + 6 y - 6 y & = & 18 + 26 \\ 22 x + 0 y & = & 44 \end{array}$

Vi har fått en enda ekvation med en obekant, som vi redan lätt kan lösa:

$\begin{array}{rcl} 22 x + 0 y & = & 44 \\ 22 x & = & 44 \\ x & = & 2 \end{array}$

Vi ser att vi fick samma resultat som med den förra metoden, substitutionsmetoden. Nu skulle vi bara sätta in x i någon ekvation igen och få resultatet y = −1. Kontrollen skulle också gå till precis likadant.

Antal lösningar

Ett ekvationssystem behöver inte ha exakt en lösning. Det kan också ha oändligt många lösningar, eller ingen lösning alls. Här är en kort genomgång av när det händer. Om vi har två ekvationer med två obekanta och den ena ekvationen kan uttryckas med hjälp av den andra genom ekvivalenta omformningar, så har systemet oändligt många lösningar. Ett exempel är systemet

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ 2 x & + & 2 y & = & 4 \end{array}$

Vi ser att om vi multiplicerar den första ekvationen med två får vi precis den andra ekvationen. Den andra ekvationen ger oss alltså ingen ”ny information” om systemet och är i praktiken överflödig. Det innebär att varje lösning till ekvationen

$x + y = 2$

samtidigt är en lösning till hela systemet. Till exempel är paren (1, 1) och (−3, 5) lösningar till den första ekvationen och samtidigt till hela systemet.

Systemet saknar lösning om det innehåller ekvationer som motsäger varandra och inte kan gälla samtidigt. Till exempel:

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 4 \end{array}$

Summan x + y kan inte vara lika med både två och fyra samtidigt, så systemet saknar lösning. Här är några exempel till:

Första exemplet

Lös följande system med två ekvationer och två obekanta:

$\begin{array}{rrrcl} 7 x & + & 3 y & = & 21 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Vid en snabb blick på systemet ser vi att det passar för additionsmetoden. Koefficienten framför x är dubbelt så stor i den andra ekvationen som i den första, och koefficienten framför y är tre gånger så stor i den andra ekvationen. Det räcker alltså att multiplicera den första ekvationen med antingen minus två eller minus tre och addera ekvationerna. Vi försöker till exempel eliminera variabeln x, så vi multiplicerar den första ekvationen med −2. Vi får:

$\begin{array}{rrrcl} - 14 x & - & 6 y & = & - 42 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Vi adderar de här två ekvationerna och får

$\begin{array}{rcl} 14 x - 14 x + 9 y - 6 y & = & - 42 \\ 3 y & = & - 42 \\ y & = & - 14 \end{array}$

Nu har vi det första resultatet för vårt system. Det här resultatet sätter vi in i någon ekvation, vi kan återigen sätta in det i den allra första ekvationen:

$\begin{array}{rcl} 7 x + 3 y & = & 21 / y = - 14 \\ 7 x + 3 \cdot (- 14) & = & 21 \\ 7 x - 42 & = & 21 \\ 7 x & = & 63 \\ x & = & 9 \end{array}$

Vi har alltså lösningen till ekvationssystemet, x = 9 och y = −14.

Andra exemplet

Lös följande system med två ekvationer och två obekanta:

$\begin{array}{rcl} (x + 4) (y - 2) & = & (x - 2) (y + 13) \\ (x - 1) (y - 3) & = & (x + 2) (y - 5) \end{array}$

Det här ser lite vilt ut, men det går. Först av allt måste vi multiplicera ut parenteserna, utan det kommer vi inte långt.

$\begin{array}{rcl} x y - 2 x + 4 y - 8 & = & x y + 13 x - 2 y - 26 \\ x y - 3 x - y + 3 & = & x y - 5 x + 2 y - 10 \end{array}$

Nu skriver vi om ekvationerna till en mer användbar form: vi flyttar variablerna till vänsterledet och konstanttermerna till högerledet och förenklar så långt det går.

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 2 x & - & 3 y & = & - 13 \end{array}$

Nu har vi fått ett ganska användbart ekvationssystem av de otrevliga ekvationerna, och vi kan använda någon av de klassiska metoderna. Vi kan till exempel multiplicera den andra ekvationen med två och addera den till den första. När vi har multiplicerat den andra ekvationen med två får vi:

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 4 x & - & 6 y & = & - 26 \end{array}$

Nu adderar vi de båda ekvationerna med den klassiska additionsmetoden:

$\begin{array}{rcl} 4 x - 15 x + 6 y - 6 y & = & - 18 - 26 \\ - 11 x & = & - 44 \\ 11 x & = & 44 \\ x & = & 4 \end{array}$

Bra, nu känner vi det ena värdet. Det sätter vi in i någon av ekvationerna och beräknar y. Vi kan till exempel sätta in i ekvationen 2x− 3y = −13 och får:

$\begin{array}{rcl} 2 x - 3 y & = & - 13 / x = 4 \\ 8 - 3 y & = & - 13 \\ - 3 y & = & - 21 \\ - y & = & - 7 \\ y & = & 7 \end{array}$

Nu har vi hela lösningen till ekvationssystemet – det har lösningen x = 4 och y = 7.

« Föregående: Trigonometriska olikheter

Nästa: Tal »