Primtal
Primtal är tal som bara är delbara med 1 och sig själva. Primtalens egenskaper används ofta till exempel inom kryptografi.
Definition och exempel
Ett primtal är ett positivt heltal som är delbart utan rest endast med 1 och sig självt, och själva talet 1 är inget primtal. Det minsta primtalet är 2 – det är delbart utan rest med 1 och 2. Det är samtidigt det enda primtal som är jämnt. Alla andra primtal är udda, eftersom varje annat jämnt tal utöver 1 och sig självt också är delbart med 2.
De första primtalen i följd: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271…
Primtal handlar också aritmetikens fundamentalsats om. Den säger att varje heltal större än 1 kan skrivas som en produkt av primtal.
Testa om ett tal är ett primtal
Primtalens egenskaper
- Det finns oändligt många primtal. Beviset finns i artikeln om motsägelsebevis.
- För varje heltal z>1 gäller att det i intervallet ]z, 2z[ finns minst ett primtal. Exempel: för z = 2 har vi intervallet ]2, 4[. Det enda heltalet i det intervallet är 3, och det är ett primtal. För z = 5 får vi intervallet ]5, 10[, alltså talen 6, 7, 8, 9. Talet 7 är ett primtal. På samma sätt för högre z.
- Ett Mersenneprimtal är ett primtal som är 1 mindre än någon heltalspotens av 2. Ett Mersenneprimtal M har alltså formen M = 2z − 1, där z är något positivt heltal. Ett exempel är primtalet 3, eftersom 22 − 1 = 3. Eller 7, eftersom 23 − 1 = 7.
- De största kända primtalen brukar vara just Mersenneprimtal. Till exempel hittades den 23 augusti 2008 Mersenneprimtalet M43112609, där det nedsänkta indexet anger exponenten z. Det är alltså primtalet 243112609 − 1, som har 12 978 189 siffror och som då var det största kända primtalet.
En talföljd utan primtal
Det går att hitta en godtyckligt lång ändlig talföljd av på varandra följande positiva heltal där inte ett enda är ett primtal. En sådan talföljd kan ha formen k!+2, k!+3, …, k!+k och innehåller k − 1 på varandra följande sammansatta tal (utropstecknet betecknar fakultet).
Till exempel för k = 6 får vi fem på varandra följande sammansatta tal på formen: 720 + 2, 720 + 3, 720 + 4, 720 + 5, 720 + 6. De här talen är i tur och ordning delbara med 2, 3, 4, 5 och 6, eftersom talet 6! = 720 med säkerhet är delbart med alla dessa tal, då det är deras produkt: 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2. Om talet 720 är delbart med 3 måste också talet 720 + 3 vara delbart med 3. På samma sätt för de andra.
Fermats lilla sats
För varje primtal p och varje heltal z gäller att talet zp − z är delbart med primtalet p.
Exempel: låt oss ta primtalet p = 3 och heltalet z = 4. Vi beräknar värdet av 43 − 4. Det är lika med 60. Samtidigt gäller att 60/3 = 20, så talet 3 delar 60 utan rest, vilket stämmer med Fermats sats. Ett annat exempel: p = 7, z = 10. Vi beräknar delresultatet 107 − 10 = 9999990 och delar det med 7: 9999990/7 = 1428570. Återigen fick vi ett resultat utan rest.
Olösta frågor
Många kända hypoteser kring primtal har ännu (2011) inte gått att bevisa eller motbevisa. Två av de mest kända är:
- Oändligt många primtalstvillingar: primtalstvillingar är ett talpar (z, z + 2) där båda talen är primtal. Till exempel (3, 5) eller (29, 31). Frågan är om det finns oändligt många sådana par. Man antar att det gör det, men beviset saknas.
- Riemannhypotesen: alla icke-triviala nollställen till Riemanns zetafunktion har realdelen
