Çap Üzerine Çizilen Çember

Çapı gören çevre açı dik açıdır (Thales’in çember teoremi): çevrel çemberinin merkezi kenarlarından birinin üzerinde olan bütün üçgenler dik üçgendir.

Çap Üzerine Çizilen Çemberin Tanıtımı

Çok eskiden Miletli Thales, üçgenlerin ilginç bir özelliğini keşfetmiş. Bir üçgen ve onun çevrel çemberini öyle çizelim ki bu çemberin merkezi üçgenin hipotenüsünün (en uzun kenarının) orta noktası olsun. Aşağıdaki şekle bak:

Şekilde merkezi O noktasında olan bir k çemberi var. Bu çember ABC üçgeninin çevrel çemberidir, yani üçgenin bütün köşelerinden geçer. Önemli özellik, hipotenüsün çemberin merkezinden, yani O noktasından geçmesidir.

O zaman ABC iç açısının ölçüsü her zaman 90°’dir, yani bu bir dik açıdır.

B köşesini çember üzerinde nereye kaydırırsak kaydıralım, bu köşede her zaman dik açı elde ederiz. Birkaç örnek daha:

İspat

Çap üzerine çizilen çemberdeki üçgenin neden her zaman dik üçgen olduğunu çıkaralım. İlk şekli biraz düzenleyelim:

OCB ve OAB üçgenleri ikizkenardır, çünkü her birinin iki kenarı eşit uzunluktadır. OCB üçgeninde bunlar OC ve OB kenarlarıdır, çünkü uzunlukları çemberin yarıçapına eşittir. Diğer üçgende ise OA ve OB kenarlarıdır.

Bu yüzden BCO açısının ve OBC açısının ölçüsü eşittir; şekilde β harfiyle gösterilmiştir. Aynısı diğer üçgende de geçerlidir, orada α harfiyle gösterilmiştir.

Ayrıca bir üçgenin iç açılarının toplamının her zaman 180° olduğunu biliyoruz. Şimdi ABC üçgeninin iç açıları toplamını α ve β açılarıyla yazalım. Şu denklem sağlanmalı:

$$\alpha +\beta +\alpha +\beta =180.$$

Bir α açısı CAB açısı yerine, diğer α açısı ABO açısı yerine yazıldı. β açısı için de aynısı geçerli. Önceki denklemi biraz sadeleştirelim:

$$2\alpha +2\beta =180$$

Denklemi ikiye bölelim:

$$\alpha +\beta =90$$

Böylece ispat tamamlandı. α + β açıları toplamının 90’a eşit olduğunu biliyoruz; ayrıca α ve β açılarının toplamının, incelediğimiz ABC iç açısını verdiğini biliyoruz.

Bağlantılar ve Kaynaklar

• Vikipedi