Unghiul înscris în semicerc
Teorema lui Thales pentru cerc (nu cea despre segmente proporționale) spune că toate triunghiurile la care centrul cercului circumscris se află pe una dintre laturi sunt dreptunghice.
Descrierea cercului de diametru ipotenuză
Un anume Thales din Milet a descoperit cândva, demult, o proprietate interesantă a triunghiului. Să desenăm un triunghi și cercul lui circumscris astfel încât centrul acestui cerc să se afle la mijlocul ipotenuzei (cea mai lungă latură a triunghiului). Privește figura următoare:
În figură avem cercul k cu centrul în punctul O. Acest cerc este circumscris triunghiului ABC, adică trece prin toate vârfurile triunghiului. Proprietatea importantă este că ipotenuza trece prin centrul cercului, trece prin punctul O.
Atunci unghiul interior ABC are întotdeauna măsura 90°, este un unghi drept.
Oriunde am muta vârful B pe cerc, în acest vârf obținem întotdeauna un unghi drept. Câteva exemple în plus:
Demonstrația
Să deducem de ce un triunghi înscris astfel într-un semicerc este întotdeauna dreptunghic. Modificăm puțin prima figură:
Triunghiurile OCB și AOB sunt isoscele, pentru că au fiecare două laturi de aceeași lungime. La triunghiul OCB sunt laturile OC și OB, pentru că lungimea lor este egală cu raza cercului. La al doilea triunghi sunt laturile OA și OB.
De aceea măsura unghiului BCO și a unghiului OBC este aceeași, în figură notată cu litera β. La fel la al doilea triunghi, unde este notată cu litera α.
Mai știm că suma unghiurilor unui triunghi trebuie să dea întotdeauna 180°. Acum exprimăm suma unghiurilor triunghiului ABC cu ajutorul unghiurilor α și β. Trebuie să avem
Un unghi α este acolo pentru unghiul CAB, celălalt unghi α pentru unghiul ABO. La fel și pentru unghiul β. Ecuația precedentă o mai transformăm puțin:
Împărțim ecuația la doi:
Și demonstrația este gata. Știm că suma unghiurilor α + β este egală cu 90 și știm că suma unghiurilor α și β ne dă tocmai unghiul interior ABC pe care îl studiem.
Trimiteri și surse
Capitole: Cercul, Unghiul înscris în semicerc
