Triangle rectangle et cercle circonscrit

Tout triangle dont le centre du cercle circonscrit se trouve sur l’un de ses côtés est rectangle. Attention : dans de nombreux pays (par exemple en Allemagne ou en Tchéquie) et en anglais, cette propriété s’appelle « théorème de Thalès », mais en France, le théorème de Thalès est un autre résultat, celui sur les droites parallèles.

Description du cercle circonscrit à un triangle rectangle

Un certain Thalès de Milet a découvert il y a très longtemps une propriété intéressante du triangle. Traçons un triangle et son cercle circonscrit de sorte que le centre de ce cercle soit le milieu de l’hypoténuse (le plus long côté) du triangle. Regarde la figure suivante :

Sur la figure, on a un cercle k de centre O. Ce cercle est circonscrit au triangle ABC, c’est-à-dire qu’il passe par tous les sommets du triangle. Une propriété importante : l’hypoténuse passe par le centre du cercle, elle passe par le point O. L’hypoténuse [AC] est donc un diamètre du cercle.

Alors l’angle intérieur $\widehat{ABC}$ mesure toujours 90°, c’est un angle droit.

Où que l’on déplace le sommet B sur le cercle, on obtient toujours un angle droit en ce sommet. Quelques autres exemples :

Démonstration

Voyons pourquoi un triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre est toujours rectangle. Modifions un peu la première figure :

Les triangles OCB et AOB sont isocèles, car ils ont chacun deux côtés de même longueur. Dans le triangle OCB, ce sont les côtés [OC] et [OB], car leur longueur est égale au rayon du cercle. Dans le second triangle, ce sont les côtés [OA] et [OB].

Les angles $\widehat{BCO}$ et $\widehat{OBC}$ ont donc la même mesure, notée β sur la figure. Il en va de même dans le second triangle, où elle est notée α.

Nous savons par ailleurs que la somme des angles d’un triangle est toujours égale à 180°. Exprimons maintenant la somme des angles du triangle ABC à l’aide de α et β. On doit avoir

$$\alpha +\beta +\alpha +\beta =180.$$

Un des angles α correspond à l’angle $\widehat{CAB}$, l’autre à l’angle $\widehat{ABO}$. Même chose pour l’angle β. Transformons un peu l’égalité précédente :

$$2\alpha +2\beta =180$$

Divisons l’égalité par deux :

$$\alpha +\beta =90$$

Et la démonstration est terminée. Nous savons que la somme des angles α + β est égale à 90, et que la somme des angles α et β donne l’angle intérieur $\widehat{ABC}$ étudié.

Liens et sources

• Wikipédia