Εγγεγραμμένη γωνία σε ημικύκλιο

Σύμφωνα με το θεώρημα για την εγγεγραμμένη γωνία σε ημικύκλιο, όλα τα τρίγωνα, των οποίων το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου βρίσκεται πάνω σε μία από τις πλευρές τους, είναι ορθογώνια.

Κύκλος με διάμετρο την υποτείνουσα

Ο Θαλής ο Μιλήσιος ανακάλυψε πολύ παλιά μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα του τριγώνου. Ας σχεδιάσουμε ένα τρίγωνο και τον περιγεγραμμένο κύκλο του έτσι ώστε το κέντρο αυτού του κύκλου να διχοτομεί την υποτείνουσα (τη μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου). Κοίταξε την παρακάτω εικόνα:

Στην εικόνα έχουμε τον κύκλο k με κέντρο το σημείο O. Αυτός ο κύκλος είναι περιγεγραμμένος στο τρίγωνο ABC, δηλαδή περνά από όλες τις κορυφές του τριγώνου. Σημαντική ιδιότητα είναι ότι η υποτείνουσα περνά από το κέντρο του κύκλου, περνά από το σημείο O.

Τότε ισχύει ότι η εσωτερική γωνία ABC έχει πάντα μέτρο 90°, πρόκειται για ορθή γωνία.

Όπου κι αν μετακινήσουμε την κορυφή B πάνω στον κύκλο, πάντα σε αυτή την κορυφή παίρνουμε ορθή γωνία. Μερικά ακόμα παραδείγματα:

Απόδειξη

Θα αποδείξουμε γιατί το τρίγωνο που είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο είναι πάντα ορθογώνιο. Τροποποιούμε λίγο την πρώτη εικόνα:

Ισχύει ότι τα τρίγωνα OCB και AOB είναι ισοσκελή, επειδή έχουν πάντα δύο ίσες πλευρές. Στο τρίγωνο OCB είναι οι πλευρές OC και OB, επειδή το μήκος τους είναι ίσο με την ακτίνα του κύκλου. Στο δεύτερο τρίγωνο είναι οι πλευρές OA και OB.

Γι' αυτό το μέτρο της γωνίας BCO και της γωνίας OBC είναι το ίδιο, που στην εικόνα παριστάνεται με το γράμμα β. Το ίδιο και στο δεύτερο τρίγωνο, εκεί σημειώνεται με το γράμμα α.

Επίσης ξέρουμε ότι το άθροισμα των γωνιών τριγώνου πρέπει να μας δίνει πάντα 180°. Τώρα εκφράζουμε το άθροισμα των γωνιών στο τρίγωνο ABC με τη βοήθεια των γωνιών α και β. Πρέπει να ισχύει

$$\alpha +\beta +\alpha +\beta =180.$$

Η μία γωνία α αντιστοιχεί στη γωνία CAB, η άλλη γωνία α στη γωνία ABO. Το ίδιο ισχύει για τη γωνία β. Την προηγούμενη εξίσωση την τροποποιούμε ακόμα λίγο:

$$2\alpha +2\beta =180$$

Διαιρούμε την εξίσωση με το δύο:

$$\alpha +\beta =90$$

Και η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Ξέρουμε ότι το άθροισμα των γωνιών α + β είναι ίσο με 90 και ξέρουμε ότι το άθροισμα των γωνιών α και β μας δίνει την εσωτερική γωνία ABC που εξετάζουμε.

Παραπομπές και πηγές

• Βικιπαίδεια