Thales' cirkel

Thales' sætning siger, at alle trekanter, hvis omskrevne cirkels centrum ligger på en af deres sider, er retvinklede.

Beskrivelse af Thales' cirkel

En vis Thales fra Milet opdagede for længe siden en interessant egenskab ved trekanter. Lad os tegne en trekant og dens omskrevne cirkel sådan, at cirklens centrum halverer hypotenusen (den længste side) i trekanten. Se på den følgende figur:

På figuren har vi cirklen k med centrum i punktet M. Denne cirkel er omskrevet om trekanten ABC, dvs. den går gennem alle trekantens hjørner. Den vigtige egenskab er, at hypotenusen går gennem cirklens centrum, den går gennem punktet M.

Så gælder, at den indre vinkel ABC altid har størrelsen 90°, det er en ret vinkel.

Uanset hvor vi flytter hjørnet B hen på cirklen, får vi altid en ret vinkel ved dette hjørne. Nogle flere eksempler:

Bevis

Vi udleder, hvorfor en trekant i Thales' cirkel altid er retvinklet. Vi ændrer lidt på den første figur:

Der gælder, at trekanterne MCB og AMB er ligebenede, fordi de hver har to lige lange sider. I trekanten MCB er det siderne MC og MB, fordi deres længde er lig med cirklens radius. I den anden trekant er det så siderne MA og MB.

Derfor er størrelsen af vinklen BCM og vinklen MBC den samme, på figuren vist med bogstavet β. Det samme gælder i den anden trekant, dér er det betegnet med bogstavet α.

Desuden ved vi, at summen af vinklerne i en trekant altid skal give 180°. Nu udtrykker vi summen af vinklerne i trekanten ABC ved hjælp af vinklerne α og β. Der må gælde

$$\alpha +\beta +\alpha +\beta =180.$$

Den ene vinkel α står der for vinklen CAB, den anden vinkel α for vinklen ABM. Det samme gælder for vinklen β. Den foregående ligning omformer vi lidt endnu:

$$2\alpha +2\beta =180$$

Vi dividerer ligningen med to:

$$\alpha +\beta =90$$

Og så er beviset færdigt. Vi ved, at summen af vinklerne α + β er lig med 90, og vi ved, at summen af vinklerne α og β giver den undersøgte indre vinkel ABC.