Thalész-kör

A Thalész-tétel azt mondja, hogy minden olyan háromszög derékszögű, amelynek köré írt körének középpontja az egyik oldalán fekszik.

A Thalész-kör leírása

A milétoszi Thalész valamikor régen felfedezte a háromszög egy érdekes tulajdonságát. Rajzoljunk egy háromszöget és a köré írt körét úgy, hogy a kör középpontja felezze az átfogót (a háromszög leghosszabb oldalát). Nézd meg a következő ábrát:

Az ábrán a k kör O középponttal látható. Ez a kör az ABC háromszög köré írt köre, vagyis a háromszög minden csúcsán átmegy. Fontos tulajdonság, hogy az átfogó átmegy a kör középpontján, az O ponton.

Ekkor az ABC belső szög mindig 90°, tehát derékszög.

Akárhová mozgatjuk a B csúcsot a körön, ennél a csúcsnál mindig derékszöget kapunk. Még néhány példa:

Bizonyítás

Vezessük le, miért derékszögű mindig a Thalész-körben lévő háromszög. Kicsit átalakítjuk az első ábrát:

Az OCB és az AOB háromszögek egyenlő szárúak, mert mindkettőben két oldal egyenlő hosszú. Az OCB háromszögben ezek az OC és OB oldalak, mert a hosszuk egyenlő a kör sugarával. A másik háromszögben ezek az OA és OB oldalak.

Ezért a BCO és az OBC szög nagysága egyenlő, az ábrán β betűvel jelölve. Ugyanez igaz a másik háromszögben, ott α betűvel jelöltük.

Továbbá tudjuk, hogy a háromszög szögeinek összege mindig 180°. Most fejezzük ki az ABC háromszög szögeinek összegét az α és β szögekkel. Fenn kell állnia:

$$\alpha +\beta +\alpha +\beta =180.$$

Az egyik α szög a CAB szögnek felel meg, a másik α az ABO szögnek. Ugyanez igaz a β szögre. Az előző egyenletet még kicsit átalakítjuk:

$$2\alpha +2\beta =180$$

Az egyenletet elosztjuk kettővel:

$$\alpha +\beta =90$$

És a bizonyítás kész. Tudjuk, hogy az α + β szögek összege 90, és tudjuk, hogy az α és β szögek összege a vizsgált ABC belső szöget adja.

Hivatkozások és források

• Wikipédia