Thaleen ympyrä

Thaleen lause sanoo, että kaikki kolmiot, joiden ympäri piirretyn ympyrän keskipiste on jollakin niiden sivulla, ovat suorakulmaisia.

Thaleen ympyrän kuvaus

Eräs Thales Miletoslainen havaitsi kauan sitten kolmiosta mielenkiintoisen ominaisuuden. Piirretään kolmio ja sen ympäri piirretty ympyrä niin, että tämän ympyrän keskipiste puolittaa kolmion hypotenuusan (pisimmän sivun). Katso seuraavaa kuvaa:

Kuvassa on ympyrä k, jonka keskipiste on O. Tämä ympyrä on kolmion ABC ympäri piirretty, eli se kulkee kolmion kaikkien kärkien kautta. Tärkeä ominaisuus on, että hypotenuusa kulkee ympyrän keskipisteen eli pisteen O kautta.

Silloin pätee, että sisäkulma ABC on aina 90° eli suorakulma.

Mihin tahansa kohtaan kehää kärjen B siirrämmekin, tässä kärjessä on aina suorakulma. Muutama muu esimerkki:

Todistus

Johdetaan, miksi Thaleen ympyrän kolmio on aina suorakulmainen. Muokataan ensimmäistä kuvaa hieman:

Pätee, että kolmiot OCB ja AOB ovat tasakylkisiä, koska niissä on aina kaksi yhtä pitkää sivua. Kolmiossa OCB ne ovat sivut OC ja OB, koska niiden pituus on yhtä suuri kuin ympyrän säde. Toisessa kolmiossa ne ovat sivut OA ja OB.

Siksi kulmien BCO ja OBC suuruus on sama, kuvassa merkitty kirjaimella β. Sama pätee toiseen kolmioon, siinä se on merkitty kirjaimella α.

Lisäksi tiedämme, että kolmion kulmien summan on aina oltava 180°. Ilmaistaan nyt kolmion ABC kulmien summa kulmien α ja β avulla. On oltava

$$\alpha +\beta +\alpha +\beta =180.$$

Yksi kulma α on siellä kulman CAB kohdalla, toinen kulma α kulman ABO kohdalla. Sama pätee kulmalle β. Muokataan edellistä yhtälöä vielä hieman:

$$2\alpha +2\beta =180$$

Jaetaan yhtälö kahdella:

$$\alpha +\beta =90$$

Ja todistus on valmis. Tiedämme, että kulmien α + β summa on 90 ja että kulmien α ja β summa antaa tutkittavan sisäkulman ABC.

Linkit ja lähteet

• Wikipedia