Thales' sirkel

Thales' setning sier at alle trekanter der sentrum i den omskrevne sirkelen ligger på en av sidene, er rettvinklede.

Beskrivelse av Thales' sirkel

En viss Thales fra Milet oppdaget for lenge siden en interessant egenskap ved trekanter. La oss tegne en trekant og dens omskrevne sirkel slik at sentrum i denne sirkelen halverer hypotenusen (den lengste siden) i trekanten. Se på følgende figur:

På figuren har vi sirkelen k med sentrum i punktet S. Denne sirkelen er omskrevet om trekanten ABC, altså går den gjennom alle hjørnene i trekanten. Den viktige egenskapen er at hypotenusen går gjennom sentrum i sirkelen, den går gjennom punktet S.

Da gjelder det at den indre vinkelen ABC alltid er 90°, altså en rett vinkel.

Uansett hvor vi flytter hjørnet B langs sirkelen, får vi alltid en rett vinkel ved dette hjørnet. Noen flere eksempler:

Bevis

La oss utlede hvorfor trekanten i Thales' sirkel alltid er rettvinklet. Vi endrer den første figuren litt:

Det gjelder at trekantene SCB og ASB er likebeinte, for de har alltid to sider like lange. I trekanten SCB er det sidene SC og SB, for lengden av dem er lik radien i sirkelen. I den andre trekanten er det sidene SA og SB.

Derfor er størrelsen på vinkelen BCS og vinkelen SBC den samme, og på figuren er den vist med bokstaven β. Det samme gjelder den andre trekanten, der er den markert med bokstaven α.

Videre vet vi at summen av vinklene i en trekant alltid må bli 180°. Nå uttrykker vi summen av vinklene i trekanten ABC ved hjelp av vinklene α og β. Det må gjelde

$$\alpha +\beta +\alpha +\beta =180.$$

Den ene vinkelen α står der for vinkelen CAB, den andre vinkelen α for vinkelen ABS. Det samme gjelder vinkelen β. Den forrige likningen omformer vi litt:

$$2\alpha +2\beta =180$$

Vi deler likningen på to:

$$\alpha +\beta =90$$

Og så er beviset ferdig. Vi vet at summen av vinklene α + β er lik 90, og vi vet at summen av vinklene α og β gir oss den indre vinkelen ABC vi undersøker.

Lenker og kilder

• Wikipedia