Teorema de Tales da semicircunferência

O teorema de Tales da semicircunferência diz que todos os triângulos cujo centro da circunferência circunscrita fica sobre um de seus lados são retângulos. (No Brasil, o nome “teorema de Tales” designa mais frequentemente outro resultado, o das retas paralelas cortadas por transversais; aqui falamos do teorema sobre o triângulo inscrito em uma semicircunferência.)

Descrição da circunferência de Tales

Certo Tales de Mileto descobriu, há muito tempo, uma propriedade interessante do triângulo. Desenhemos um triângulo e a sua circunferência circunscrita de modo que o centro dessa circunferência divida ao meio a hipotenusa (o lado mais longo) do triângulo. Observe a figura a seguir:

Na figura temos a circunferência k com centro no ponto O. Essa circunferência é circunscrita ao triângulo ABC, isto é, passa por todos os vértices do triângulo. A propriedade importante é que a hipotenusa passa pelo centro da circunferência, passa pelo ponto O.

Então vale que o ângulo interno ABC mede sempre 90°, trata-se de um ângulo reto.

Para onde quer que movamos o vértice B pela circunferência, sempre obtemos nesse vértice um ângulo reto. Mais alguns exemplos:

Demonstração

Vamos deduzir por que o triângulo na circunferência de Tales é sempre retângulo. Modifiquemos um pouco a primeira figura:

Vale que os triângulos OCB e AOB são isósceles, porque sempre têm dois lados de mesmo comprimento. No triângulo OCB são os lados OC e OB, porque o comprimento deles é igual ao raio da circunferência. No outro triângulo são os lados OA e OB.

Por isso, a medida do ângulo BCO e a do ângulo OBC são iguais, o que na figura está representado pela letra β. O mesmo no outro triângulo, em que está indicado pela letra α.

Sabemos ainda que a soma dos ângulos em um triângulo deve sempre dar 180°. Agora expressamos a soma dos ângulos no triângulo ABC com o auxílio dos ângulos α e β. Deve valer

$$\alpha +\beta +\alpha +\beta =180.$$

Um ângulo α está ali no lugar do ângulo CAB, o outro ângulo α no lugar do ângulo ABO. O mesmo para o ângulo β. Modificamos ainda um pouco a equação anterior:

$$2\alpha +2\beta =180$$

Dividimos a equação por dois:

$$\alpha +\beta =90$$

E a demonstração está pronta. Sabemos que a soma dos ângulos α + β é igual a 90 e sabemos que a soma dos ângulos α e β nos dá o ângulo interno ABC em estudo.

Referências

• Wikipédia