Circonferenza di Talete
Il teorema di Talete sulla semicirconferenza dice che tutti i triangoli il cui circocentro (il centro della circonferenza circoscritta) si trova su uno dei loro lati sono rettangoli. Non confonderlo con il «teorema di Talete sulle rette parallele», che riguarda la proporzionalità dei segmenti.
Descrizione della circonferenza di Talete
Un certo Talete di Mileto scoprì tanto tempo fa una proprietà interessante dei triangoli. Disegniamo un triangolo e la sua circonferenza circoscritta in modo che il centro di questa circonferenza sia il punto medio dell’ipotenusa (il lato più lungo) del triangolo. Guarda la figura seguente:
Nella figura abbiamo la circonferenza k di centro O. Questa circonferenza è circoscritta al triangolo ABC, cioè passa per tutti i vertici del triangolo. La proprietà importante è che l’ipotenusa passa per il centro della circonferenza, passa per il punto O.
Allora l’angolo interno ABC misura sempre 90°: è un angolo retto.
Ovunque sposti il vertice B lungo la circonferenza, in quel vertice otterrai sempre un angolo retto. Qualche altro esempio:
Dimostrazione
Vediamo perché un triangolo inscritto nella circonferenza di Talete è sempre rettangolo. Modifichiamo un po’ la prima figura:
I triangoli OCB e AOB sono isosceli, perché hanno sempre due lati uguali. Nel triangolo OCB sono i lati OC e OB, perché la loro lunghezza è uguale al raggio della circonferenza. Nel secondo triangolo sono i lati OA e OB.
Perciò l’ampiezza dell’angolo BCO e quella dell’angolo OBC sono uguali, nella figura indicate con la lettera β. Lo stesso vale per l’altro triangolo, dove è indicata con la lettera α.
Sappiamo inoltre che la somma degli angoli di un triangolo deve sempre dare 180°. Esprimiamo ora la somma degli angoli del triangolo ABC con gli angoli α e β. Deve valere
Un angolo α sta per l’angolo CAB, l’altro angolo α per l’angolo ABO. Lo stesso vale per l’angolo β. Semplifichiamo ancora un po’ l’equazione precedente:
Dividiamo l’equazione per due:
E la dimostrazione è conclusa. Sappiamo che la somma degli angoli α + β è uguale a 90 e sappiamo che la somma degli angoli α e β ci dà proprio l’angolo interno ABC in esame.
Riferimenti e fonti
Capitoli: Circonferenza, Circonferenza di Talete
