Segundo teorema de Tales
El segundo teorema de Tales dice que todos los triángulos cuyo circuncentro (el centro de la circunferencia circunscrita) está en uno de sus lados son rectángulos. Dicho de otro modo, un ángulo inscrito en una circunferencia que abarca un diámetro es un ángulo recto.
Descripción de la circunferencia de diámetro AC
Un tal Tales de Mileto descubrió hace mucho tiempo una propiedad interesante de los triángulos. Tracemos un triángulo y su circunferencia circunscrita de modo que el centro de esta circunferencia sea el punto medio de la hipotenusa (el lado más largo) del triángulo. Observa la siguiente figura:
En la figura tenemos la circunferencia k de centro O. Esta circunferencia está circunscrita al triángulo ABC, es decir, pasa por todos los vértices del triángulo. La propiedad importante es que la hipotenusa pasa por el centro de la circunferencia, es decir, por el punto O.
Entonces el ángulo interior ABC mide siempre 90°, es un ángulo recto.
Por más que movamos el vértice B por la circunferencia, en este vértice siempre obtenemos un ángulo recto. Algunos ejemplos más:
Demostración
Vamos a deducir por qué el triángulo inscrito de este modo es siempre rectángulo. Modificamos un poco la primera figura:
Los triángulos OCB y AOB son isósceles, porque tienen dos lados iguales. En el triángulo OCB son los lados OC y OB, porque su longitud es igual al radio de la circunferencia. En el otro triángulo son los lados OA y OB.
Por eso la amplitud del ángulo BCO y la del ángulo OBC son iguales, lo que en la figura se indica con la letra β. Lo mismo ocurre en el otro triángulo, donde se indica con la letra α.
Sabemos además que la suma de los ángulos de un triángulo es siempre 180°. Expresemos ahora la suma de los ángulos del triángulo ABC mediante los ángulos α y β. Tiene que cumplirse
Un ángulo α corresponde al ángulo CAB y el otro ángulo α, al ángulo ABO. Lo mismo para el ángulo β. Simplificamos un poco la ecuación anterior:
Dividimos la ecuación entre dos:
Y con esto queda hecha la demostración. Sabemos que la suma de los ángulos α + β es igual a 90 y sabemos que la suma de los ángulos α y β nos da el ángulo interior ABC que estamos estudiando.
Enlaces y fuentes
Capítulos: Circunferencia, Segundo teorema de Tales
