Cirkel van Thales

De stelling van Thales zegt dat alle driehoeken waarvan het middelpunt van de omgeschreven cirkel op een van hun zijden ligt, rechthoekig zijn.

Beschrijving van de cirkel van Thales

Ene Thales van Milete ontdekte lang geleden een interessante eigenschap van een driehoek. We tekenen een driehoek en zijn omgeschreven cirkel zo dat het middelpunt van deze cirkel de schuine zijde (de langste zijde) van de driehoek halveert. Bekijk de volgende afbeelding:

In de afbeelding hebben we een cirkel k met middelpunt M. Deze cirkel is de omgeschreven cirkel van driehoek ABC, dus hij gaat door alle hoekpunten van de driehoek. Een belangrijke eigenschap is dat de schuine zijde door het middelpunt van de cirkel gaat, door punt M.

Dan geldt dat binnenhoek ABC altijd 90° is, het is een rechte hoek.

Waar we hoekpunt B ook langs de cirkel verschuiven, we krijgen bij dit hoekpunt altijd een rechte hoek. Nog enkele voorbeelden:

Bewijs

We leiden af waarom een driehoek in de cirkel van Thales altijd rechthoekig is. We passen de eerste afbeelding een beetje aan:

Er geldt dat de driehoeken MCB en AMB gelijkbenig zijn, omdat ze telkens twee even lange zijden hebben. Bij driehoek MCB zijn dat de zijden MC en MB, omdat hun lengte gelijk is aan de straal van de cirkel. Bij de andere driehoek zijn dat de zijden MA en MB.

Daarom zijn de hoeken BCM en MBC even groot, in de afbeelding aangegeven met de letter β. Hetzelfde geldt voor de andere driehoek, daar is het aangegeven met de letter α.

Verder weten we dat de som van de hoeken in een driehoek altijd 180° moet zijn. Nu drukken we de som van de hoeken in driehoek ABC uit met behulp van de hoeken α en β. Het moet gelden dat

$$\alpha +\beta +\alpha +\beta =180.$$

De ene hoek α staat daar voor hoek CAB, de andere hoek α voor hoek ABM. Hetzelfde geldt voor hoek β. De vorige vergelijking werken we nog even om:

$$2\alpha +2\beta =180$$

We delen de vergelijking door twee:

$$\alpha +\beta =90$$

En het bewijs is klaar. We weten dat de som van de hoeken α + β gelijk is aan 90 en we weten dat de som van de hoeken α en β ons de onderzochte binnenhoek ABC geeft.

Verwijzingen en bronnen

• Wikipedia