Thales cirkel

Thales sats säger att alla trianglar där medelpunkten för den omskrivna cirkeln ligger på någon av triangelns sidor är rätvinkliga.

Beskrivning av Thales cirkel

Thales från Miletos upptäckte för länge sedan en intressant egenskap hos trianglar. Vi ritar en triangel och dess omskrivna cirkel så att cirkelns medelpunkt delar hypotenusan (den längsta sidan) i triangeln på mitten. Titta på följande figur:

I figuren har vi cirkeln k med medelpunkten O. Cirkeln är omskriven kring triangeln ABC, det vill säga den går genom alla triangelns hörn. Det viktiga är att hypotenusan går genom cirkelns medelpunkt, genom punkten O.

Då gäller att den inre vinkeln ABC alltid är 90°, alltså en rät vinkel.

Vart vi än flyttar hörnet B längs cirkeln får vi alltid en rät vinkel vid det hörnet. Några fler exempel:

Bevis

Vi härleder varför en triangel i Thales cirkel alltid är rätvinklig. Vi ändrar den första figuren lite:

Trianglarna OCB och AOB är likbenta, eftersom de har två lika långa sidor vardera. I triangeln OCB är det sidorna OC och OB, eftersom deras längd är lika med cirkelns radie. I den andra triangeln är det sidorna OA och OB.

Därför är vinklarna BCO och OBC lika stora, vilket i figuren är markerat med bokstaven β. Detsamma gäller för den andra triangeln, där det är markerat med bokstaven α.

Vidare vet vi att vinkelsumman i en triangel alltid är 180°. Nu uttrycker vi vinkelsumman i triangeln ABC med hjälp av vinklarna α och β. Det måste gälla att

$$\alpha +\beta +\alpha +\beta =180.$$

Den ena vinkeln α står där för vinkeln CAB, den andra vinkeln α för vinkeln ABO. Detsamma gäller för vinkeln β. Vi förenklar den föregående ekvationen lite:

$$2\alpha +2\beta =180$$

Vi dividerar ekvationen med två:

$$\alpha +\beta =90$$

Och därmed är beviset klart. Vi vet att summan av vinklarna α + β är lika med 90 och att summan av vinklarna α och β ger den inre vinkeln ABC som vi undersöker.

Länkar och källor

• Wikipedia