Thaleskreis
Der Satz des Thales besagt, dass alle Dreiecke, deren Umkreismittelpunkt auf einer ihrer Seiten liegt, rechtwinklig sind.
Beschreibung des Thaleskreises
Ein gewisser Thales von Milet entdeckte vor langer Zeit eine interessante Eigenschaft des Dreiecks. Zeichnen wir ein Dreieck und seinen Umkreis so, dass der Mittelpunkt dieses Kreises die Hypotenuse (die längste Seite) des Dreiecks halbiert. Sieh dir die folgende Abbildung an:
In der Abbildung haben wir einen Kreis k mit dem Mittelpunkt M. Dieser Kreis ist der Umkreis des Dreiecks ABC, d. h., er verläuft durch alle Ecken des Dreiecks. Die entscheidende Eigenschaft ist, dass die Hypotenuse durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft, also durch den Punkt M.
Dann gilt, dass der Innenwinkel ABC immer die Größe 90° hat, es handelt sich also um einen rechten Winkel.
Egal, wohin wir die Ecke B auf dem Kreis verschieben, an dieser Ecke erhalten wir immer einen rechten Winkel. Einige weitere Beispiele:
Beweis
Wir leiten her, warum ein Dreieck im Thaleskreis immer rechtwinklig ist. Verändern wir die erste Abbildung etwas:
Die Dreiecke MCB und AMB sind gleichschenklig, weil sie jeweils zwei gleich lange Seiten haben. Beim Dreieck MCB sind es die Seiten MC und MB, weil ihre Länge gleich dem Radius des Kreises ist. Beim zweiten Dreieck sind es die Seiten MA und MB.
Deshalb sind der Winkel BCM und der Winkel MBC gleich groß, in der Abbildung mit dem Buchstaben β bezeichnet. Dasselbe gilt für das zweite Dreieck, dort ist es mit dem Buchstaben α bezeichnet.
Weiter wissen wir, dass die Winkelsumme im Dreieck immer 180° ergeben muss. Nun drücken wir die Winkelsumme im Dreieck ABC durch die Winkel α und β aus. Es muss gelten
Ein Winkel α steht dort für den Winkel CAB, der andere Winkel α für den Winkel ABM. Dasselbe gilt für den Winkel β. Die vorige Gleichung formen wir noch leicht um:
Wir dividieren die Gleichung durch zwei:
Und der Beweis ist fertig. Wir wissen, dass die Summe der Winkel α + β gleich 90 ist, und wir wissen, dass die Winkel α und β zusammen den untersuchten Innenwinkel ABC ergeben.
Links und Quellen
Kapitel: Kreis, Thaleskreis
