Üçgen

Üçgen, üç doğru parçasıyla birleştirilmiş üç köşeden oluşan bir geometrik şekildir.

Tanım

Aşağıdaki şekle bak: Şekilde A, B ve C köşelerinden oluşan bir üçgen görülüyor; yani bu bir ABC üçgenidir. Burada üç kenar buluruz: AB, BC, AC. Ayrıca bu kenarların küçük harflerle de adlandırıldığına dikkat et. Bu adlandırmanın bir kuralı var — A köşesinin karşısındaki kenar a’dır. B köşesinin karşısında b kenarı, C köşesinin karşısında ise c kenarı bulunur. Yani kenar her zaman karşısındaki köşenin adıyla adlandırılır; o köşeyi oluşturmayan kenar, o köşenin karşı kenarıdır.

Her üçgenin üç iç açısı vardır; bunları genellikle Yunan harfleri alfa α, beta β ve gama γ ile gösteririz. Üç iç açının toplamı her zaman 180 derece olmak zorundadır.

Üçgenin köşegeni yoktur, ama kenarortayları ve yükseklikleri vardır.

Üçgen Eşitsizliği

Üçgen eşitsizliği, üçgende geçerli olan önemli bir bağıntıdır. Herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı her zaman üçüncü, kalan kenarın uzunluğundan büyüktür. Bunu yazarsak:

$$\begin{array}{rcl}|a|+|b|& >& |c|\\ |a|+|c|& >& |b|\\ |b|+|c|& >& |a|\end{array}$$

Bu eşitsizlik geçerli olmasaydı ne olurdu? Yani bir kenar, kalan iki kenarın toplamından uzun olsaydı? Üçgen oluşamazdı, çünkü o iki kenar çok kısa kalırdı ve “birbirine ulaşamazdı”.

Eğer eşitlik geçerli olsaydı, yani iki kenarın toplamı üçüncü kenarın uzunluğuna eşit olsaydı, üçgen çizmeye çalıştığımızda bütün noktalar bir doğru üzerinde kalırdı:

Üçgen eşitsizliği, çoğunlukla uzaklıklarla ilgili olan başka kavramların tanımlarında da kullanılır; bu ilke orada en doğal olanıdır. Gerçek dünyadaki uzaklıklardan söz edersek, Ankara’dan Konya’ya kuş uçuşu giden yolun, Ankara’dan Samsun’a, oradan da Konya’ya giden yoldan kesinlikle daha kısa olduğu açıktır.

Üçgen Çeşitleri

Üçgenleri genellikle kenar uzunluklarına ve açılarına göre birkaç farklı çeşide ayırırız.

• Eşkenar üçgenin bütün kenarları eşit uzunluktadır. Aynı zamanda bütün iç açılarının ölçüsü 60 derecedir.
• İkizkenar üçgenin iki kenarı eşit uzunluktadır, üçüncü kenarın uzunluğu farklıdır. Eşit uzunluktaki kenarlara eş kenarlar, üçüncü kenara ise taban denir. Böyle bir üçgende eş kenarların tabanla yaptığı açılar her zaman eştir.
• Dar açılı üçgenin her iç açısı dardır, yani 90 dereceden küçüktür.
• Dik üçgenin tam olarak bir açısı diktir, yani ölçüsü 90 derecedir. Bir üçgenin iki dik açısı olamaz, çünkü iç açıların toplamı 180’e eşittir — üçüncü açının ölçüsü o zaman sıfır olmak zorunda kalırdı, bu da mümkün değildir. Dik üçgende ünlü Pisagor teoremi geçerlidir. Daha fazla bilgi için dik üçgen hakkındaki ayrı makaleyi oku.
• Geniş açılı üçgenin tam olarak bir açısı geniştir, yani ölçüsü 90 dereceden büyüktür. Yine bir üçgenin 90 dereceden büyük iki açısı olamayacağına dikkat et; bu yüzden kalan iki açı mutlaka dar, yani 90 dereceden küçük olmalıdır.