Kesirlerde Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme

Her rasyonel sayıyı kesir olarak yazabiliriz. Bir kesir iki parçadan oluşur. Üstteki parçaya pay, alttakine payda denir. Bir de merdivenli kesir vardır; bu, payında ya da paydasında başka bir kesir bulunan kesirden başka bir şey değildir. Bu arada kesirler arasındaki işaretler (artı, eksi, eşittir vb.) her zaman kesir çizgisinin hizasına yazılır; ne payın ne de paydanın hizasına. Hem biliyor muydun, dört kişiden beşi kesirlerde zorlanıyor?

Temel Bilgiler

Bir kesrin biçimi şöyledir:

$$\frac{\text{pay}}{\text{payda}}$$

Örnek olarak şu kesri verebiliriz:

$$\frac{2}{5},$$

yani beşte iki. Payda, kesrin adını belirler. Beşte bir, üçte bir, altıda bir… Kesrin asıl adı, kesir çizgisinin altındaki sayıdan gelir. Pay ise kaç tane olduğunu söyler; önceki örnekte iki tane beşte bir vardı. İsimler için bu kadar.

Pay ve paydada aslında herhangi bir sayı ya da yine bir kesir bulunabilir, ancak çoğunlukla pay ve paydası doğal sayı olan kesirlerle karşılaşırız.

Kesir, yalnızca başka türlü yazılmış bir bölme işlemidir; kesrin değerini bulmak için payı paydaya böleriz. Yani genel olarak $\frac{a}{b}$ kesrimiz varsa, kesrin değeri a/b sayısıdır. Önceki kesrin (beşte iki) değeri 2/5 olur, bu da 0,4 eder.

En Sade Biçime Çevirme

Kesirlerle çeşitli işlemler yapıp biçimlerini değiştirebiliriz — genişletebilir ve sadeleştirebiliriz —, bu sırada kesrin değeri hiç değişmez. Bunu sözle de kolayca hayal edebiliriz: örneğin yarım, dörtte iki ya da sekizde dört ile aynı değerdedir. Bunun nedeni kesrin sadece kılık değiştirmiş bir bölme olmasıdır. Yarıma birkaç farklı bölmeyle ulaşabiliriz. Dört bölü sekiz yarımdır. On bölü yirmi de yarımdır. Bu yüzden

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\dots =\frac{10}{20}=\dots$$

kesirlerinin hepsi aynı değerdedir.

Gördüğün gibi, aynı değerde başka kesirlere ulaşmak için ilk kesir olan 1/2’nin hem payını hem paydasını 2 ile çarptık. Çarpınca 2/4 yani dörtte iki çıktı. Bu kesrin de pay ve paydasını 2 ile çarparsak 4/8 yani sekizde dört elde ederiz. Bu aşamada kesri genişlettik.

Genişletmenin ters işlemi sadeleştirmedir; pay ve paydayı aynı sayıya böleriz. Bir kesri sadeleştirmek istiyorsak, hem payı hem paydayı kalansız bölen bir sayı bulmalıyız. Sadeleştirme uygulamada çok sık kullanılır, çünkü sadeleştirince kesir hayli basitleşir ve onunla çalışmak kolaylaşır. 12/18 kesrimiz olsun. Kısa bir bakışta iki sayının da çift olduğunu, dolayısıyla 2’ye bölünebildiğini görürüz. Kesri elbette 2 ile sadeleştirebiliriz, ama ikinci bir bakışta pay ile paydanın 6’ya da bölünebildiği anlaşılır. Kesri 6 ile sadeleştirirsek sadece 2 ile sadeleştirmeye göre daha sade bir kesir elde ederiz. O yüzden kesri 6 ile sadeleştiririz. Sonuç 2/3 kesri olur.

Bu kesir artık daha fazla sadeleşmez; hem payı hem paydayı kalansız bölebilecek (1’den büyük) bir sayı yoktur. Artık sadeleşmeyen kesre en sade biçimde olan kesir diyoruz. Her zaman kesirlerle en sade biçimde çalışmaya özen göster; kesirlerle bir işlem yapacaksan önce sadeleşen kesir var mı diye bak. Zamandan kazanırsın. Bir örnek daha:

$$\frac{24}{42}$$

24 ve 42 hangi sayıya aynı anda bölünür? İkisi de çift sayı, yani kesinlikle 2’ye. Pay ve paydayı 2’ye bölelim:

$$\frac{24}{42}=\frac{12}{21}$$

İki sayıyı da bölen başka bir sayı var mı? Evet, bu sefer 3.

$$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$$

Hâlâ hem payı hem paydayı bölen bir sayı var mı? Yok, kesir en sade biçimde.

Kesirlerde Çarpma

Belki şaşıracaksın, ama kesirlerde çarpma ve bölme, toplama ve çıkarmadan daha kolaydır. İki kesri çarpacaksan birinci kesrin payını ikinci kesrin payıyla, paydayı da paydayla çarparsın. Hepsi bu. Kesirlerde çarpma örneği:

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 7}=\frac{10}{21}$$

Kesirleri çarparken ayrıca başka bir sadeleştirme yolu daha vardır. Yalnızca tek bir kesrin içinde sadeleştirmek zorunda değilsin, çapraz da sadeleştirebilirsin. Birinci kesrin payı ile ikinci kesrin paydası sadeleşiyorsa bunu yapıp çarpmayı kolaylaştırabilirsin. Örnek (sadeleşen sayılar çerçeveyle gösterilmiştir):

$$\frac{\boxed{\text{4}}}{5}\cdot \frac{3}{\boxed{\text{8}}}=\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{10}$$

Ne yaptık? 4’ü de 8’i de 4’e böldük. Çarpımın değeri değişmedi. Şimdi sadeleştirmeseydik çarpma işleminden sonra da sadeleştirebilirdik.

Bir kesri tam sayıyla çarpmayı da kolayca iki kesrin çarpımına çevirirsin: c tam sayısını c/1 olarak yazarsın:

$$\frac{3}{7}\cdot 5=\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{1}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 1}=\frac{15}{7}$$

Gördüğün gibi bir kesri tam sayıyla çarpıyorsan kesrin payını bu sayıyla çarpman yeterli.

$$c\cdot \frac{a}{b}=\frac{ac}{b}$$

Kesirlerde Bölme

Kesirlerde bölme, pratikte çarpmayla aynıdır. Bir kesri diğerine bölmek istiyorsan ikinci kesri (böleni) ters çevirir ve kesirleri normal şekilde çarparsın. Kesirlerde bölmeye basit bir örnek (kesri ters çevirdikten sonra 12 ile 6’nın sadeleşebildiğine dikkat et):

$$\frac{12}{7}:\frac{6}{11}=\frac{12}{7}\cdot \frac{11}{6}=\frac{2}{7}\cdot \frac{11}{1}=\frac{22}{7}$$

Bölmeyi, $\frac{6}{11}$ kesrini $\frac{11}{6}$ kesrine çevirip diğer kesirle çarparak çarpmaya dönüştürdük. Bu neden işe yarar? Daha basit bir örnek üzerinden düşünmen yeter; mesela yarıma bölmeyi ele alalım. Şunu bölüyorsak

$$\frac{10}{1/2}=?,$$

aslında ne yapıyoruz? Yarımın ona kaç kez sığdığını buluyoruz. Her bir bütüne yarım tam iki kez sığar (iki kere yarım bir eder), yani ona yirmi kez sığar. Aynı sonuca iki ile onu çarparak da ulaşırız — yine yirmi. Peki yarımı ters çevirince ne elde ederiz? İki bütün, yani iki.

$$\frac{1}{2}\to \frac{2}{1}=2$$

Sonuçta şunu elde ederiz:

$$\frac{10}{1/2}=10\cdot \frac{2}{1}=10\cdot 2=20.$$

Kesirlerde Toplama

Kesirleri toplamak biraz daha karmaşıktır. Çünkü kesirleri ancak paydaları aynıysa toplayabiliriz. Paydaları aynı değilse önce onları eşit paydaya getirmemiz gerekir. Sonra çarpmadaki gibi basitçe birinci kesrin payını ikinci kesrin payıyla toplarız. Çarpmadan farklı olarak paydayı olduğu gibi bırakırız. Önce paydaları aynı olan kesirlerin toplamına bir örnek:

$$\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Mantıklı mı? Yarım artı beş tane yarım, altı tane yarım eder — bu epey mantıklı.

Kesirlerin paydaları genellikle aynı olmaz; o zaman kesirleri eşit paydaya getirmemiz gerekir, yani kesirlerden birini ya da ikisini paydalar eşit olacak şekilde genişletmeliyiz. Şu iki kesri toplamak isteyelim:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=?$$

Birinci kesrin paydasında 3, ikincinin paydasında 2 var. Şu anda onları toplamak zor, ama birinci kesri 2 ile genişletirsek paydası 6 olur, ikinci kesri 3 ile genişletirsek onun da paydası 6 olur. Artık iki kesrin paydası aynı ve rahatça toplayabiliriz. Yani ilk adımda kesirleri paydaları eşit olacak şekilde genişletiriz:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}+\frac{5\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}+\frac{15}{6}$$

Şimdi yalnızca payları toplarız, paydayı aynı bırakırız:

$$\frac{4}{6}+\frac{15}{6}=\frac{19}{6}$$

Toplarken çarpmadaki gibi kesirler arasında çapraz sadeleştirme yapamayacağımıza dikkat et. Örneğin düzenlemeden sonra birinci kesrin paydasında 6, ikinci kesrin payında 15 vardı. Yine de 3 ile sadeleştiremeyiz:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}+\frac{\boxed{\text{15}}}{6}\ne \frac{4}{2}+\frac{5}{6}$$

Bu sadeleştirmeyi ancak kesirleri çarpıyor olsaydık yapabilirdik:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}\cdot \frac{\boxed{\text{15}}}{6}=\frac{4}{2}\cdot \frac{5}{6}$$

İki kesri genel olarak eşit paydaya nasıl getiririz? Birinci kesri ikinci kesrin paydasıyla, ikinci kesri de birinci kesrin paydasıyla genişletiriz. Genel olarak şöyle yazabiliriz:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}$$

Birinci kesri ikinci kesrin paydası olan d ifadesiyle genişlettik. İkinci kesri de birinci kesrin paydası olan b ifadesiyle genişlettik. Somut bir örnek:

$$\frac{7}{4}+\frac{9}{8}=\frac{7\cdot 8}{4\cdot 8}+\frac{9\cdot 4}{8\cdot 4}$$

Birinci kesri 8 ile, ikinci kesri 4 ile genişlettik. Bunu yaptıktan sonra kesirleri toplayabiliriz.

Kesirlerin toplamı için genel formül şöyle olur:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$$

Kesirlerde Çıkarma

Kesirlerde çıkarma tamamen toplamadaki gibi yapılır; yalnızca payları toplamayız, çıkarırız. Yani toplamanın önceki genel formülünü şöyle değiştiririz:

$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$$

Somut bir örnek; önce paydaları eşitleriz:

$$\frac{7}{9}-\frac{2}{5}=\frac{7\cdot 5}{9\cdot 5}-\frac{2\cdot 9}{5\cdot 9}=\frac{35}{45}-\frac{18}{45}$$

Şimdi yalnızca payları çıkarırız, paydayı aynı bırakırız:

$$\frac{35}{45}-\frac{18}{45}=\frac{35-18}{45}=\frac{17}{45}$$

İçler Dışlar Çarpımı

Denklemlerde iki kesrin eşitliğini sadeleştiren içler dışlar çarpımını kullanabiliriz. Aslında bu, verilen denklem üzerinde yapılan iki denk işlemden başka bir şey değildir. İki kesirli bir denklemimiz olsun:

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

Bu denklemi önce birinci, sonra ikinci kesrin paydasıyla çarparak düzenleyebiliriz. Önce denklemi birinci kesrin paydasıyla, yani b ifadesiyle çarpalım. Şunu elde ederiz:

$$\frac{ab}{b}=\frac{bc}{d}.$$

Sonra denklemi d ifadesiyle çarparsak şunu elde ederiz:

$$\frac{abd}{b}=\frac{bcd}{d}.$$

Birinci kesirde b’leri, ikincide d’leri sadeleştiririz. Sonuçta şu denklem çıkar:

$$ad=bc.$$

Bunu bir formül olarak görebiliriz: iki kesirden oluşan bir denklemimiz varsa onu şöyle düzenleyebiliriz:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{b}& =& \frac{c}{d}\to \\ ad& =& bc\end{array}$$

Şimdi bir örnek. İlk adımda kesirleri önceki formüle göre yazarız, ikinci adımda ise iki taraftaki ifadeleri azıcık düzenleriz.

$$\begin{array}{rcl}\frac{x+2}{x}& =& \frac{3x}{x+2}\\ (x+2)(x+2)& =& x\cdot 3x\\ (x+2{)}^2& =& 3x^2\end{array}$$

Bundan sonra denklem, klasik bir ikinci dereceden denklem olarak çözülür, ama bu artık bu yazının konusu dışındadır.

İlgili Konular

Kesirler, ifadeleri sadeleştirirken sık karşımıza çıkan bir konudur; bunu rasyonel ifadeler yazısı ele alıyor. Özellikle de polinomu polinoma bölme algoritması vardır.