Likformig fördelning och normalfördelning

Det finns två typiska frekvensfördelningar som vi ofta möter även i praktiken. Det är den likformiga fördelningen och normalfördelningen.

Likformig fördelning

Likformig fördelning betyder att alla värden i vårt material förekommer lika ofta. Vi kan till exempel räkna hur många månader åren 2000, 2001, …, 2009 hade:

Om vi kastar en klassisk idealiserad tärning har vi sannolikheten $\frac{1}{6}$ att få 1, sannolikheten $\frac{1}{6}$ att få 2 osv. Vi talar då om en likformig sannolikhetsfördelning, eftersom varje utfall har samma sannolikhet.

En icke-likformig fördelning skulle vi få om vi hade en fusktärning där sexan kom upp med sannolikheten $\frac{1}{3}$. De övriga sidorna kan inte heller ha sannolikheten $\frac{1}{3}$. På samma sätt skulle vi kunna räkna antalet dagar i de olika månaderna — alla månader har inte lika många dagar, så det skulle inte vara en likformig frekvensfördelning.

Normalfördelning

Normalfördelningen kallas ibland också Gaussfördelning. Den används bara för kontinuerliga slumpvariabler. Den standardiserade normalfördelningen har den här formen:

Den här kurvan beskrivs av den så kallade Gaussfunktionen, som har formen:

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}$$

Funktionen är ganska komplicerad, och du behöver inte komma ihåg den. Men vi ser att normalfördelningen kan parametriseras med hjälp av medelvärdet och standardavvikelsen/variansen. För olika värden på medelvärdet och avvikelsen kan vi få olika grafer:

Normalfördelningen är viktig eftersom den ganska troget efterliknar olika fördelningar som vi kan möta på riktigt. Vi ser att kurvan alltid har ett globalt maximum, och det just i medelvärdet. Till exempel har den röda kurvan sitt maximum i punkten X = 0, så medelvärdet för den här storheten är noll. Kurvan är symmetrisk, den är spegelsymmetrisk kring den linje som är vinkelrät mot X-axeln och går genom medelvärdet, alltså punkten X = 0. Med andra ord — kurvan ser likadan ut till vänster om noll som till höger om noll. Den gröna kurvan har samma egenskaper, bara inte med noll utan med punkten X = −2.

Normalfördelningen kan väl beskriva fördelningen av intelligens eller IQ bland människor. Medelvärdet för IQ är — per definition — 100. Samtidigt gäller att ungefär lika många människor har IQ över 100 som under 100. Det finns ungefär lika många som är lite under genomsnittet som lite över, och lika många dumhuvuden som genier. Även om det ibland inte verkar så :-). En graf som visar den ungefärliga fördelningen av IQ:

För normalfördelningen spelar standardavvikelsen en stor roll. Om vi har en fördelning som är normal och har standardavvikelsen σ gäller att ungefär 68 % av värdena ligger i intervallet [μ − σ, μ + σ]. Alltså avviker ungefär 68 % av värdena från medelvärdet med högst en standardavvikelse. Ungefär 95 % av värdena ligger sedan i intervallet [μ − 2σ, μ + 2σ] och 99,7 % av värdena i intervallet [μ − 3σ, μ + 3σ]. Följande bild visar det översiktligt:

Länkar och källor

• Några bilder kommer från Wikipedia, artiklarna Normalfördelning och Intelligence.