Равномерно и нормално разпределение на честотите

Съществуват две типични разпределения на честотите, с които често можем да се срещнем и на практика. Това са равномерното разпределение на честотите и нормалното разпределение на честотите.

Равномерно разпределение на честотите

Равномерното разпределение означава, че в нашата съвкупност всички стойности се срещат еднакво често. Можем например да преброим колко месеца са имали годините 2000, 2001, …, 2009:

Ако хвърлим класически идеализиран зар, имаме вероятност $\frac{1}{6}$ да се падне 1, вероятност $\frac{1}{6}$ да се падне 2 и т.н. Говорим за равномерно разпределение на вероятностите, защото всеки резултат има еднаква вероятност.

Разпределението би било неравномерно, ако имахме фалшив зар, на който числото 6 се пада с вероятност $\frac{1}{3}$. Останалите страни не могат също да имат вероятност $\frac{1}{3}$. По същия начин бихме могли да преброим дните в отделните месеци — не всички месеци имат еднакъв брой дни, така че това не би било равномерно разпределение на честотите.

Нормално разпределение на вероятностите

Нормалното разпределение понякога се нарича още разпределение на Гаус. Използва се само при непрекъснати случайни величини. Стандартното нормално разпределение има такава форма:

Тази крива се описва от т.нар. функция на Гаус, която има вида:

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}$$

Функцията е доста сложна, не е нужно да я помниш. Виждаме обаче, че нормалното разпределение можем да параметризираме с помощта на средната стойност и стандартното отклонение/дисперсията. За различни стойности на средната стойност и отклонението можем да получим различни графики:

Нормалното разпределение е важно, защото доста вярно моделира различни разпределения, с които можем реално да се срещнем. Виждаме, че кривата винаги има един глобален максимум, и то именно в точката на средната стойност. Например червената крива има максимум в точката X = 0, средната стойност на тази величина е нула. Кривата е симетрична, осево симетрична спрямо правата, която е перпендикулярна на оста X и минава през средната стойност, т.е. точката X = 0. С други думи — кривата изглежда отляво на нулата по същия начин, както отдясно на нулата. Зелената крива има същите свойства, но не с нулата, а с точката X = −2.

Нормалното разпределение може да описва вярно разпределението на интелигентността или IQ между хората. Средната стойност на IQ е — по определение — 100. При това приблизително еднакъв брой хора имат IQ над 100 и под 100. Малко под средното интелигентни има приблизително толкова, колкото малко над средното, и глупаци има колкото гении. Макар че понякога не изглежда така :-). Графика, показваща приблизителното разпределение на IQ:

При нормалното разпределение голяма роля играе стандартното отклонение. Ако имаме разпределение, което е нормално и има отклонение σ, приблизително 68% от стойностите се намират в интервала [μ − σ; μ + σ]. Тоест около 68% от стойностите се отличават от средната стойност най-много с едно стандартно отклонение. Приблизително 95% от стойностите лежат в интервала [μ − 2σ; μ + 2σ] и 99,7% от стойностите в интервала [μ − 3σ; μ + 3σ]. Нагледно това показва следната фигура:

Източници

• Някои от изображенията са от Уикипедия, статиите Нормално разпределение и Intelligence.